چگونه حجم یک فرمول چهار وجهی را پیدا کنیم. حجم یک چهار وجهی. محاسبه حجم چهار وجهی در صورتی که مختصات رئوس آن مشخص باشد

از فرمول اصلی برای حجم یک چهار وجهی

جایی که اسناحیه هر صورت است و اچ- با ارتفاع کاهش یافته روی آن، می توانید یک سری فرمول کامل را استخراج کنید که حجم را بر حسب عناصر مختلف چهار وجهی بیان می کند. ما این فرمول ها را برای چهار وجهی می دهیم آ ب پ ت.

(2) ,

کجا ∠ ( آگهی,ABC) زاویه بین لبه است آگهیو هواپیمای صورت ABC;

(3) ,

کجا ∠ ( ABC,ABD) زاویه بین وجوه است ABCو ABD;

کجا | AB,سی دی| - فاصله بین دنده های مخالف ABو سی دی, ∠ (AB,سی دی) زاویه بین این لبه ها است.

فرمول های (2) - (4) را می توان برای یافتن زوایای بین خطوط و صفحات استفاده کرد. فرمول (4) به ویژه مفید است، که با آن می توانید فاصله بین خطوط اریب را پیدا کنید ABو سی دی.

فرمول های (2) و (3) مشابه فرمول هستند اس = (1/2)abگناه سیبرای مساحت یک مثلث فرمول اس = rpفرمول مشابه

جایی که rشعاع کره محاطی چهار وجهی است، Σ سطح کل آن است (مجموع مساحت تمام وجوه). همچنین یک فرمول زیبا وجود دارد که حجم یک چهار وجهی را با شعاع متصل می کند آرمحدوده توصیف شده آن ( فرمول کرل):

که در آن Δ مساحت مثلثی است که اضلاع آن از نظر عددی برابر با حاصلضرب لبه های مقابل است ( AB× سی دی, AC× BD,آگهی× قبل از میلاد مسیح). از فرمول (2) و قضیه کسینوس برای زوایای سه وجهی (نگاه کنید به مثلثات کروی)، می توان فرمولی شبیه فرمول هرون برای مثلث ها استخراج کرد.

توجه داشته باشید. این بخشی از درس مسائل هندسه است (بخش هندسه جامد، مسائل مربوط به هرم). اگر نیاز به حل مشکلی در هندسه دارید که در اینجا نیست - در مورد آن در انجمن بنویسید. در کارها به جای نماد "ریشه مربع" از تابع sqrt () استفاده می شود که در آن sqrt نماد ریشه مربع است و عبارت رادیکال در داخل پرانتز نشان داده شده است..برای عبارات رادیکال ساده، می توان از علامت "√" استفاده کرد. چهار وجهی منظمیک هرم مثلثی منتظم است که تمام وجوه آن مثلث متساوی الاضلاع هستند.

برای یک چهار وجهی منظم، تمام زوایای دو وجهی در لبه ها و تمام زوایای سه وجهی در رئوس برابر هستند.

چهار وجهی دارای 4 وجه، 4 رأس و 6 یال است.

فرمول های اصلی برای چهار وجهی منظم در جدول آورده شده است.

جایی که:
S - سطح یک چهار وجهی منظم
V - حجم
h - ارتفاع به پایه کاهش می یابد
r - شعاع دایره محاط شده در چهار وجهی
R - شعاع دایره محدود شده
الف - طول دنده

نمونه های عملی

وظیفه.
سطح یک هرم مثلثی را با هر یال برابر با √3 پیدا کنید

راه حل.
از آنجایی که تمام لبه های هرم مثلثی با هم برابر هستند، صحیح است. سطح یک هرم مثلثی منظم S = a 2 √3 است.
سپس
S = 3√3

پاسخ: 3√3

وظیفه.
تمام لبه های هرم مثلثی منظم 4 سانتی متر است حجم هرم را بیابید

راه حل.
از آنجایی که در یک هرم مثلثی منظم، ارتفاع هرم به مرکز قاعده، که مرکز دایره محصور نیز می باشد، قرار می گیرد، پس

AO = R = √3 / 3a
AO = 4√3 / 3

بنابراین ارتفاع هرم OM را می توان از مثلث قائم الزاویه AOM یافت

AO 2 + OM 2 = AM 2
OM 2 = AM 2 - AO 2
OM 2 = 4 2 - (4√3 / 3) 2
OM 2 = 16 - 16/3
OM = √ (32/3)
OM = 4√2 / √3

حجم هرم با فرمول V = 1/3 Sh پیدا می شود
در این حالت، مساحت پایه را با فرمول S \u003d √3/4 a 2 پیدا می کنیم.

V = 1/3 (√3 / 4 * 16) (4√2 / √3)
V=16√2/3

پاسخ: 16√2/3 سانتی متر

یک مثلث دلخواه ABC و نقطه D را در نظر بگیرید که در صفحه این مثلث قرار ندارد. این نقطه را با قطعات به رئوس مثلث ABC متصل کنید. در نتیجه، مثلث های ADC، CDB، ABD را دریافت می کنیم. سطحی که با چهار مثلث ABC , ADC , CDB و ABD محدود می شود چهار وجهی نامیده می شود و DABC نشان داده می شود .
مثلث هایی که یک چهار وجهی را تشکیل می دهند وجه های آن نامیده می شوند.
اضلاع این مثلث ها لبه های چهار وجهی نامیده می شوند. و رئوس آنها رئوس یک چهار وجهی است

چهار وجهی دارد 4 چهره, 6 دندهو 4 قله.
دو یال که دارای یک راس مشترک نیستند، مخالف نامیده می شوند.
اغلب، برای راحتی، یکی از چهره های چهار وجهی نامیده می شود اساس، و سه وجه باقیمانده وجه های جانبی هستند.

بنابراین، چهار وجهی ساده ترین چند وجهی است که وجه های آن چهار مثلث است.

اما این نیز درست است که هر هرم مثلثی دلخواه یک چهار وجهی است. سپس این نیز درست است که چهار وجهی نامیده می شود هرمی که قاعده آن مثلثی است.

ارتفاع چهار وجهیقطعه ای نامیده می شود که یک راس را به نقطه ای که در طرف مقابل و عمود بر آن قرار دارد متصل می کند.
میانه یک چهار وجهیقطعه ای نامیده می شود که راس را به نقطه تقاطع میانه های وجه مقابل متصل می کند.
چهار وجهی دومیانقطعه ای نامیده می شود که نقاط میانی لبه های متقاطع چهار وجهی را به هم متصل می کند.

از آنجایی که چهار وجهی یک هرم با قاعده مثلثی است، حجم هر چهار وجهی را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد.

• اسناحیه هر صورت است،
• اچ- قد در این صورت کاهش یافته است

چهار وجهی منظم - نوع خاصی از چهار وجهی

چهار ضلعی که تمام وجوه آن مثلث متساوی الاضلاع است نامیده می شود درست.
خواص چهار وجهی منظم:

• تمام لبه ها برابر هستند.
• تمام زوایای صفحه یک چهار وجهی منظم 60 درجه است
• از آنجایی که هر یک از رئوس آن راس سه مثلث منظم است، مجموع زوایای صفحه در هر راس 180 درجه است.
• هر رأس یک چهار وجهی منظم به مرکز متعامد وجه مقابل (به نقطه تقاطع ارتفاعات مثلث) کشیده می شود.

اجازه دهید یک چهار وجهی منظم ABCD با یال های برابر با a به ما داده شود. DH ارتفاع آن است.
بیایید ساختارهای اضافی BM بسازیم - ارتفاع مثلث ABC و DM - ارتفاع مثلث ACD.
ارتفاع BM برابر با BM و برابر است
مثلث BDM را در نظر بگیرید، جایی که DH که ارتفاع چهار وجهی است، نیز ارتفاع این مثلث است.
ارتفاع یک مثلث کاهش یافته به ضلع مگابایت را می توان با استفاده از فرمول پیدا کرد

، جایی که
BM=، DM=، BD=a،
p=1/2 (BM+BD+DM)=
این مقادیر را با فرمول ارتفاع جایگزین کنید. گرفتن


بیایید 1/2a را برداریم. گرفتن

تفاوت فرمول مربع ها را اعمال کنید

پس از برخی تغییرات جزئی، ما دریافت می کنیم


حجم هر چهار وجهی را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد
,
جایی که ,

با جایگزینی این مقادیر، دریافت می کنیم

بنابراین فرمول حجم برای یک چهار وجهی منظم است

جایی که آ-لبه چهار وجهی

محاسبه حجم چهار وجهی در صورتی که مختصات رئوس آن مشخص باشد

بگذارید مختصات رئوس چهار وجهی به ما داده شود

بردارها را از رأس رسم کنید.
برای یافتن مختصات هر یک از این بردارها، مختصات شروع مربوطه را از مختصات پایانی کم کنید. گرفتن

تعریف چهار وجهی

چهار وجهی- ساده ترین جسم چند وجهی که وجوه و قاعده آن مثلث است.

ماشین حساب آنلاین

چهار وجهی دارای چهار وجه است که هر کدام از سه ضلع تشکیل شده است. چهار وجهی چهار رأس دارد که هر کدام سه یال دارند.

این بدنه به چند نوع تقسیم می شود. در زیر طبقه بندی آنها آمده است.

1. چهار وجهی ایزوهدرال- تمام چهره های آن مثلث های یکسان هستند.
2. چهار وجهی ارتوسنتریک- تمام ارتفاعات کشیده شده از هر رأس به سمت مقابل از نظر طول یکسان هستند.
3. چهار وجهی مستطیلی- لبه های خارج شده از یک راس با یکدیگر زاویه 90 درجه تشکیل می دهند.
4. قاب;
5. متناسب;
6. مرکزی.

فرمول های حجم چهار وجهی

حجم یک جسم معین را می توان به روش های مختلفی پیدا کرد. بیایید آنها را با جزئیات بیشتری تجزیه و تحلیل کنیم.

از طریق حاصلضرب مخلوط بردارها

اگر چهار وجهی بر روی سه بردار با مختصات ساخته شده باشد:

A ⃗ = (a x، a y، a z) \vec(a)=(a_x، a_y، a_z)آ= (آ ایکس​ , آ y​ , آ z​ )
b ⃗ = (b x، b y، b z) \vec(b)=(b_x، b_y، b_z)ب= (ب ایکس​ , ب y​ , ب z​ )
c ⃗ = (c x، c y، c z) \vec(c)=(c_x، c_y، c_z)ج= (ج ایکس​ , ج y​ , ج z​ ) ,

پس حجم این چهار وجهی حاصلضرب مخلوط این بردارها است، یعنی چنین تعیین کننده ای:

حجم یک چهار وجهی از طریق تعیین کننده

V = 1 6 ⋅ ∣ a x a y a z b x b y b z c x c y c z ∣ V=\frac(1)(6)\cdot\begin(vmatrix) a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c__z & c_x )V =6 1 ​ ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ آ ایکس​ ب ایکس​ ج ایکس​ ​ آ y​ ب y​ ج y​ ​ آ z​ ب z​ ج z​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​

وظیفه 1

مختصات چهار رأس هشت وجهی مشخص است. A (1، 4، 9) A(1،4،9) A (1، 4، 9), B(8، 7، 3) B(8،7،3) B(8، 7، 3), C (1، 2، 3) C(1،2،3) C (1، 2، 3), D(7، 12، 1) D(7،12،1) D (7 , 1 2 , 1 ). حجم آن را پیدا کنید.

راه حل

A (1، 4، 9) A(1،4،9) A (1، 4، 9)
B(8، 7، 3) B(8،7،3) B(8، 7، 3)
C (1، 2، 3) C(1،2،3) C (1، 2، 3)
D(7، 12، 1) D(7،12،1) D (7 , 1 2 , 1 )

اولین قدم تعیین مختصات بردارهایی است که جسم داده شده بر روی آنها ساخته شده است.
برای این کار باید هر مختصات بردار را با کم کردن مختصات مربوط به دو نقطه پیدا کنید. برای مثال مختصات برداری A B → \overrightarrow(AB) A B، یعنی بردار هدایت شده از یک نقطه A A آبه نقطه B B ب، اینها تفاوت مختصات متناظر نقاط است B B بو A A آ:

A B → = (8 − 1, 7 − 4 , 3 − 9) = (7 , 3 , − 6) \overrightarrow(AB)=(8-1, 7-4, 3-9)=(7, 3, -6)A B= (8 − 1 , 7 − 4 , 3 − 9 ) = (7 , 3 , − 6 )

A C → = (1 − 1 , 2 − 4 , 3 − 9) = (0 , − 2 , − 6) \overrightarrow(AC)=(1-1, 2-4, 3-9)=(0, - 2، -6)A C= (1 − 1 , 2 − 4 , 3 − 9 ) = (0 , − 2 , − 6 )
A D → = (7 − 1، 12 − 4، 1 − 9) = (6، 8، −8) \overrightarrow(AD)=(7-1، 12-4، 1-9)=(6، 8، -8)آگهی= (7 − 1 , 1 2 − 4 , 1 − 9 ) = (6 , 8 , − 8 )

حالا بیایید حاصلضرب مختلط این بردارها را پیدا کنیم، برای این ما یک تعیین کننده مرتبه سوم می سازیم، در حالی که فرض می کنیم که A B → = a ⃗ \overrightarrow(AB)=\vec(a)A B= آ, A C → = b ⃗ \overrightarrow(AC)=\vec(b)A C= ب, A D → = c ⃗ \overrightarrow(AD)=\vec(c)آگهی= ج.

∣ a x a y a z b x b y b z c x c y c z ∣ = ∣ 7 3 − 6 0 − 2 − 6 6 8 − 8 (− 6) ⋅ (− 2) ⋅ 6 − 7 ⋅ (⋅ − 7 ⋅ (⋅ − 8) ⋅ (- 6) ⋅ 2- 108 − 0 − 72 + 336 + 0 = 268 \begin(vmatrix) a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \end(vmatrix)= \begin(vmatrix) 7 & 3 & -6 \\ 0 & -2 & -6 \\ 6 & 8 & -8 \\ \end(vmatrix)=7\cdot(-2)\cdot(-8) + 3\cdot(-6) \cdot6 + (-6)\cdot0\cdot8 - (-6)\cdot (-2)\cdot6 - 7\cdot(-6)\cdot8 - 3\cdot0\cdot(-8) = 112 - 108 - 0 - 72 + 336 + 0 = 268∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ آ ایکس​ ب ایکس​ جایکس​ ​ آy​ بy​ جy​ ​ آz​ بz​ جz​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ 7 0 6 ​ 3 − 2 8 ​ − 6 − 6 − 8 ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = 7 ⋅ (− 2 ) ⋅ (− 8 ) + 3 ⋅ (− 6 ) ⋅ 6 + (− 6 ) ⋅ 0 ⋅ 8 − (− 6 ) ⋅ (− 2 ) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6 ) ⋅ 8 − 3 ⋅ 0 ⋅ (− 8 ) = 1 1 2 − 1 0 8 − 0 − 7 2 + 3 3 6 + 0 = 2 6 8

یعنی حجم یک چهار ضلعی برابر است با:

$V=61\cdot |$

پاسخ

$44.8\text{سانتی متر3 .}$

فرمول حجم یک چهار وجهی هم وجهی در امتداد ضلع آن

این فرمول فقط برای محاسبه حجم یک چهار وجهی هم‌وجهی معتبر است، یعنی چهار وجهی که در آن همه وجوه مثلث‌های منظم یکسان هستند.

حجم یک چهار وجهی ایزوهدرال

$V=12\sqrt{2\cdot {آ}^3}$

aآطول لبه چهار وجهی است.

وظیفه 2

حجم چهار ضلعی را در صورتی که ضلع آن برابر باشد بیابید $11\text{سانتی متر.}$

راه حل

$آ=11$

جایگزین aآفرمول حجم چهار وجهی:

$V=12\sqrt{2\cdot {آ}^{3=12\sqrt{2\cdot 11^{3\approx 156.8\text{سانتی متر3}}}}}$

پاسخ

$156.8\text{سانتی متر3 .}$