Kuinka löytää tetraedrikaavan tilavuus. Tetraedrin tilavuus. Tetraedrin tilavuuden laskeminen, jos sen kärkien koordinaatit tunnetaan

Tetraedrin tilavuuden peruskaavasta

Missä S on minkä tahansa kasvojen alue, ja H- siihen laskettu korkeus, voit johtaa koko joukon kaavoja, jotka ilmaisevat tilavuuden tetraedrin eri elementtien suhteen. Annamme nämä kaavat tetraedrille ABCD.

(2) ,

missä ∠ ( ILMOITUS,ABC) on reunan välinen kulma ILMOITUS ja kasvotaso ABC;

(3) ,

missä ∠ ( ABC,ABD) on pintojen välinen kulma ABC Ja ABD;

missä | AB,CD| - vastakkaisten kylkiluiden välinen etäisyys AB Ja CD, ∠ (AB,CD) on näiden reunojen välinen kulma.

Kaavojen (2)–(4) avulla voidaan määrittää suorien ja tasojen väliset kulmat; Kaava (4) on erityisen hyödyllinen, jolla voit selvittää vinoviivojen välisen etäisyyden AB Ja CD.

Kaavat (2) ja (3) ovat samanlaisia ​​kuin kaava S = (1/2)ab synti C kolmion alueelle. Kaava S = rp samanlainen kaava

Missä r on tetraedrin piirretyn pallon säde, Σ on sen kokonaispinta (kaikkien pintojen pinta-alojen summa). Siellä on myös kaunis kaava, joka yhdistää tetraedrin tilavuuden säteen kanssa R sen kuvattu laajuus ( Crellen kaava):

missä Δ on kolmion pinta-ala, jonka sivut ovat numeerisesti yhtä suuria kuin vastakkaisten reunojen tulot ( AB× CD, AC× BD,ILMOITUS× eKr). Kaavasta (2) ja kolmiokulmien kosinilauseesta (katso Pallotrigonometria) voidaan johtaa samanlainen kaava kuin Heronin kolmioiden kaava.

Huomautus. Tämä on osa oppituntia, jossa on geometrian ongelmia (leikkauksen kiinteä geometria, pyramidin ongelmat). Jos sinun on ratkaistava geometrian ongelma, jota ei ole täällä - kirjoita siitä foorumille. Tehtävissä "neliöjuuri"-symbolin sijasta käytetään sqrt () -funktiota, jossa sqrt on neliöjuuren symboli ja radikaalilauseke merkitään suluissa.Yksinkertaisissa radikaalilausekkeissa voidaan käyttää merkkiä "√".. säännöllinen tetraedri on säännöllinen kolmiopyramidi, jonka kaikki pinnat ovat tasasivuisia kolmioita.

Säännöllisen tetraedrin kaikki dihedraaliset kulmat reunoilla ja kaikki kolmiokulmat kärkien kohdalla ovat yhtä suuret

Tetraedrillä on 4 pintaa, 4 kärkeä ja 6 reunaa.

Säännöllisen tetraedrin peruskaavat on annettu taulukossa.

Missä:
S - Säännöllisen tetraedrin pinta-ala
V - tilavuus
h - korkeus laskettu alustaan
r - tetraedriin piirretyn ympyrän säde
R - rajatun ympyrän säde
a - kylkiluun pituus

Käytännön esimerkkejä

Tehtävä.
Etsi kolmion muotoisen pyramidin pinta-ala, jonka jokainen reuna on √3

Ratkaisu.
Koska kaikki kolmiopyramidin reunat ovat yhtä suuret, se on oikein. Säännöllisen kolmion muotoisen pyramidin pinta-ala on S = a 2 √3.
Sitten
S = 3√3

Vastaus: 3√3

Tehtävä.
Säännöllisen kolmion muotoisen pyramidin kaikki reunat ovat 4 cm. Laske pyramidin tilavuus

Ratkaisu.
Koska säännöllisessä kolmiomaisessa pyramidissa pyramidin korkeus projisoidaan pohjan keskelle, joka on myös rajatun ympyrän keskipiste, niin

AO = R = √3 / 3a
AO = 4√3/3

Siten pyramidin OM korkeus saadaan oikeasta kolmiosta AOM

AO 2 + OM 2 = AM 2
OM 2 = AM 2 - AO 2
OM 2 = 4 2 - (4√3 / 3) 2
OM 2 = 16 - 16/3
OM = √(32/3)
OM = 4√2 / √3

Pyramidin tilavuus saadaan kaavasta V = 1/3 Sh
Tässä tapauksessa löydämme pohjan alueen kaavalla S \u003d √3/4 a 2

V = 1/3 (√3 / 4 * 16) (4√2 / √3)
V=16√2/3

Vastaus: 16√2/3cm

Tarkastellaan mielivaltaista kolmiota ABC ja pistettä D, joka ei ole tämän kolmion tasossa. Yhdistä tämä piste janoilla kolmion ABC kärkipisteisiin. Tuloksena saadaan kolmiot ADC , CDB , ABD . Neljän kolmion ABC, ADC, CDB ja ABD rajoittamaa pintaa kutsutaan tetraedriksi ja sitä merkitään DABC:ksi.
Kolmioita, jotka muodostavat tetraedrin, kutsutaan sen kasvoiksi.
Näiden kolmioiden sivuja kutsutaan tetraedrin reunoksi. Ja niiden kärjet ovat tetraedrin kärjet

Tetraedrillä on 4 naamaa, 6 kylkiluuta Ja 4 huippua.
Kahta reunaa, joilla ei ole yhteistä kärkeä, kutsutaan vastakkaisiksi.
Usein mukavuussyistä kutsutaan yhtä tetraedrin pinnoista perusta, ja loput kolme pintaa ovat sivupintoja.

Siten tetraedri on yksinkertaisin monitahoinen, jonka pinnat ovat neljä kolmiota.

Mutta on myös totta, että mikä tahansa mielivaltainen kolmiopyramidi on tetraedri. Silloin on myös totta, että tetraedria kutsutaan pyramidi, jonka pohjassa on kolmio.

Tetraedrin korkeus kutsutaan segmentiksi, joka yhdistää kärjen vastakkaisella sivulla olevaan pisteeseen, joka on kohtisuorassa sitä vastaan.
Tetraedrin mediaani kutsutaan segmentiksi, joka yhdistää kärjen vastakkaisen pinnan mediaanien leikkauspisteeseen.
Bimediaaninen tetraedri kutsutaan janaksi, joka yhdistää tetraedrin risteävien reunojen keskipisteet.

Koska tetraedri on pyramidi, jolla on kolmiokanta, minkä tahansa tetraedrin tilavuus voidaan laskea kaavalla

• S on minkä tahansa kasvojen alue,
• H- korkeus laskettu näillä kasvoilla

Säännöllinen tetraedri - erityinen tetraedrityyppi

Kutsutaan tetraedriä, jonka kaikki pinnat ovat tasasivuisia kolmioita oikea.
Säännöllisen tetraedrin ominaisuudet:

• Kaikki reunat ovat yhtä suuret.
• Säännöllisen tetraedrin kaikki tasokulmat ovat 60°
• Koska jokainen sen kärki on kolmen säännöllisen kolmion kärki, tasokulmien summa kussakin kärjessä on 180°
• Mikä tahansa säännöllisen tetraedrin kärki heijastetaan vastakkaisen pinnan ortosentriin (kolmion korkeuksien leikkauspisteeseen).

Otetaan meille säännöllinen tetraedri ABCD, jonka reunat ovat yhtä suuret kuin a . DH on sen korkeus.
Tehdään lisäkonstruktiot BM - kolmion ABC korkeus ja DM - kolmion ACD korkeus.
Korkeus BM on yhtä suuri kuin BM ja yhtä suuri
Tarkastellaan kolmiota BDM , jossa DH , joka on tetraedrin korkeus, on myös tämän kolmion korkeus.
Sivulle MB pudonneen kolmion korkeus löytyy kaavalla

, Missä
BM=, DM=, BD=a,
p=1/2 (BM+BD+DM)=
Korvaa nämä arvot korkeuskaavaan. Saada


Otetaan pois 1/2a. Saada

Käytä neliöiden kaavaeroa

Pienten muutosten jälkeen saamme


Minkä tahansa tetraedrin tilavuus voidaan laskea kaavalla
,
Missä ,

Korvaamalla nämä arvot, saamme

Siten säännöllisen tetraedrin tilavuuskaava on

Missä a-tetraedrin reuna

Tetraedrin tilavuuden laskeminen, jos sen kärkien koordinaatit tunnetaan

Olkoon meille annettu tetraedrin kärkien koordinaatit

Piirrä vektorit kärjestä , , .
Löytääksesi kunkin vektorin koordinaatit, vähennä vastaava alkukoordinaatti loppukoordinaatista. Saada

Tetraedrin määritelmä

Tetrahedron- yksinkertaisin monitahoinen kappale, jonka pinnat ja pohja ovat kolmioita.

Online-laskin

Tetraedrillä on neljä pintaa, joista jokainen muodostuu kolmesta sivusta. Tetraedrillä on neljä kärkeä, joista jokaisessa on kolme reunaa.

Tämä runko on jaettu useisiin tyyppeihin. Alla on niiden luokitus.

1. Isoedrinen tetraedri- sen kaikki pinnat ovat samoja kolmioita;
2. Ortosentrinen tetraedri- kaikki korkeudet, jotka on vedetty kustakin kärjestä vastakkaiseen pintaan, ovat yhtä pitkiä;
3. Suorakaiteen muotoinen tetraedri- yhdestä kärjestä lähtevät reunat muodostavat 90 asteen kulman keskenään;
4. kehys;
5. Suhteutettu;
6. keskeinen.

Tetraedrin tilavuuskaavat

Tietyn kehon tilavuus voidaan löytää useilla tavoilla. Analysoidaan niitä tarkemmin.

Vektorien sekatulon kautta

Jos tetraedri on rakennettu kolmelle vektorille, joilla on koordinaatit:

A ⃗ = (a x , a y , a z) \vec(a)=(a_x, a_y, a_z)a= (a x​ , a y​ , a z​ )
b ⃗ = (b x , b y , b z) \vec(b)=(b_x, b_y, b_z)b= (b x​ , b y​ , b z​ )
c ⃗ = (c x , c y , c z) \vec(c)=(c_x, c_y, c_z)c= (c x​ , c y​ , c z​ ) ,

silloin tämän tetraedrin tilavuus on näiden vektorien sekatulo, eli tällainen determinantti:

Tetraedrin tilavuus determinantin läpi

V = 1 6 ⋅ ∣ a x a y a z b x b y b z c x c y c z ∣ V=\frac(1)(6)\cdot\begin(vmatrix) a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & z(end \\ c_x & z( )V =6 1 ​ ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ a x​ b x​ c x​ ​ a y​ b y​ c y​ ​ a z​ b z​ c z​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​

Tehtävä 1

Oktaedrin neljän kärjen koordinaatit tunnetaan. A (1, 4, 9) A(1,4,9) A (1, 4, 9), B(8,7,3)B(8,7,3) B(8, 7, 3), C (1, 2, 3) C(1,2,3) C (1, 2, 3), D(7, 12, 1) D(7, 12, 1) D (7 , 1 2 , 1 ). Etsi sen tilavuus.

Ratkaisu

A (1, 4, 9) A(1,4,9) A (1, 4, 9)
B(8,7,3)B(8,7,3) B(8, 7, 3)
C (1, 2, 3) C(1,2,3) C (1, 2, 3)
D(7, 12, 1) D(7, 12, 1) D (7 , 1 2 , 1 )

Ensimmäinen askel on määrittää niiden vektorien koordinaatit, joille annettu kappale on rakennettu.
Tätä varten sinun on löydettävä vektorin kukin koordinaatti vähentämällä kahden pisteen vastaavat koordinaatit. Esimerkiksi vektorin koordinaatit A B → \overrightarrow(AB) A B, eli pisteestä suunnattu vektori A A A asiaan B B B, nämä ovat pisteiden vastaavien koordinaattien eroja B B B Ja A A A:

A B → = (8 − 1 , 7 − 4 , 3 − 9) = (7 , 3 , − 6) \overrightarrow(AB)=(8-1, 7-4, 3-9)=(7, 3, -6)A B= (8 − 1 , 7 − 4 , 3 − 9 ) = (7 , 3 , − 6 )

A C → = (1 - 1, 2 - 4, 3 - 9) = (0, -2, -6) \overrightarrow(AC)=(1-1, 2-4, 3-9)=(0, - 2, -6)A C= (1 − 1 , 2 − 4 , 3 − 9 ) = (0 , − 2 , − 6 )
A D → = (7 − 1 , 12 − 4 , 1 − 9) = (6 , 8 , − 8) \overrightarrow(AD)=(7-1, 12-4, 1-9)=(6, 8, -8)A D= (7 − 1 , 1 2 − 4 , 1 − 9 ) = (6 , 8 , − 8 )

Etsitään nyt näiden vektorien sekatulo, tälle muodostamme kolmannen asteen determinantin olettaen, että A B → = a ⃗ \overrightarrow(AB)=\vec(a)A B= a, A C → = b ⃗ \overrightarrow(AC)=\vec(b)A C= b, A D → = c ⃗ \overrightarrow(AD)=\vec(c)A D= c.

∣ a x a y a z b x b y b z c x c y c z ∣ = ∣ 7 3 − 6 0 − 2 − 6 6 8 − 8 (− 6) ⋅ (− 2) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6) = 1 ⋅ (− 6) ⋅1 ⋅8 108 − 0 − 72 + 336 + 0 = 268 \begin(vmatrix) a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \end(vmatrix)= \begin(vmatrix) 7 & 3 & -6 \\ 0 & -2 & -6 \\ 6 & 8 & -8 \\ \end(vmatrix)=7\cdot(-2)\cdot(-8) + 3\cdot(-6) \cdot6 + (-6)\cdot0\cdot8 - (-6)\cdot (-2)\cdot6 - 7\cdot(-6)\cdot8 - 3\cdot0\cdot(-8) = 112 - 108 - 0 -72 + 336 + 0 = 268∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ a x​ b x​ cx​ ​ ay​ by​ cy​ ​ az​ bz​ cz​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ 7 0 6 ​ 3 − 2 8 ​ − 6 − 6 − 8 ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = 7 ⋅ (− 2 ) ⋅ (− 8 ) + 3 ⋅ (− 6 ) ⋅ 6 + (− 6 ) ⋅ 0 ⋅ 8 − (− 6 ) ⋅ (− 2 ) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6 ) ⋅ 8 − 3 ⋅ 0 ⋅ (− 8 ) = 1 1 2 − 1 0 8 − 0 − 7 2 + 3 3 6 + 0 = 2 6 8

Eli tetraedrin tilavuus on:

$V=61\cdot |$

Vastaus

$44.8\text{cm3 .}$

Kaava isoedrisen tetraedrin tilavuudelle sen kyljessä

Tämä kaava pätee vain isoedrisen tetraedrin tilavuuden laskemiseen, eli tetraedrin, jonka kaikki pinnat ovat identtisiä säännöllisiä kolmioita.

Isoedrisen tetraedrin tilavuus

$V=12\sqrt{2\cdot a^3}$

a aa on tetraedrin reunan pituus.

Tehtävä 2

Etsi tetraedrin tilavuus, jos sen sivu on yhtä suuri $11\text{cm.}$

Ratkaisu

$a=11$

Korvaava a aa tetraedrin tilavuuden kaavaan:

$V=12\sqrt{2\cdot a^{3=12\sqrt{2\cdot 11^{3\approx 156.8\text{cm3}}}}}$

Vastaus

$156.8\text{cm3 .}$