Formule o regole di moltiplicazione ridotta sono utilizzate in aritmetica, e più specificamente in algebra, per un processo più veloce di calcolo di grandi espressioni algebriche. Le formule stesse derivano dalle regole esistenti in algebra per la moltiplicazione di più polinomi.
L'uso di queste formule fornisce una soluzione abbastanza rapida a vari problemi matematici e aiuta anche a semplificare le espressioni. Le regole delle trasformazioni algebriche consentono di eseguire alcune manipolazioni con le espressioni, in seguito alle quali è possibile ottenere l'espressione a sinistra dell'uguaglianza che si trova a destra, oppure trasformare la parte destra dell'uguaglianza (per ottenere l'espressione a destra lato sinistro dopo il segno di uguale).
È conveniente conoscere le formule utilizzate per la moltiplicazione abbreviata a memoria, poiché sono spesso utilizzate per risolvere problemi ed equazioni. Le principali formule incluse in questo elenco e i loro nomi sono elencati di seguito.
somma quadrata
Per calcolare il quadrato della somma, devi trovare la somma composta dal quadrato del primo termine, il doppio del prodotto del primo termine e del secondo e il quadrato del secondo. Sotto forma di espressione, questa regola è scritta come segue: (a + c)² = a² + 2ac + c².
Il quadrato della differenza
Per calcolare il quadrato della differenza bisogna calcolare la somma composta dal quadrato del primo numero, il doppio del prodotto del primo numero per il secondo (preso con il segno opposto), e il quadrato del secondo numero. Sotto forma di espressione, questa regola ha questo aspetto: (a - c)² \u003d a² - 2ac + c².
Differenza di quadrati
La formula per la differenza di due numeri al quadrato è uguale al prodotto della somma di questi numeri e della loro differenza. Sotto forma di espressione, questa regola ha questo aspetto: a² - c² \u003d (a + c) (a - c).
somma cubo
Per calcolare il cubo della somma di due termini è necessario calcolare la somma costituita dal cubo del primo termine, il triplo del prodotto del quadrato del primo termine e del secondo, il triplo prodotto del primo termine e il secondo al quadrato e il cubo del secondo termine. Sotto forma di espressione, questa regola ha questo aspetto: (a + c)³ \u003d a³ + 3a²c + 3ac² + c³.
Somma di cubi
Secondo la formula, è uguale al prodotto della somma di questi termini e del loro quadrato incompleto della differenza. Sotto forma di espressione, questa regola si presenta così: a³ + c³ \u003d (a + c) (a² - ac + c²).
Esempio.È necessario calcolare il volume della figura, che si forma aggiungendo due cubi. Si conoscono solo le grandezze dei loro lati.
Se i valori dei lati sono piccoli, è facile eseguire calcoli.
Se le lunghezze dei lati sono espresse in numeri ingombranti, in questo caso è più semplice applicare la formula "Somma dei cubi", che semplificherà notevolmente i calcoli.
cubo differenza
L'espressione per la differenza cubica suona così: come somma della terza potenza del primo termine, triplica il prodotto negativo del quadrato del primo termine per il secondo, triplica il prodotto del primo termine per il quadrato del secondo , e il cubo negativo del secondo termine. Sotto forma di un'espressione matematica, il cubo della differenza si presenta così: (a - c)³ \u003d a³ - 3a²c + 3ac² - c³.
Differenza di cubi
La formula per la differenza dei cubi differisce dalla somma dei cubi per un solo segno. Pertanto, la differenza dei cubi è una formula uguale al prodotto della differenza di questi numeri per il loro quadrato incompleto della somma. Nella forma, la differenza dei cubi è la seguente: a 3 - c 3 \u003d (a - c) (a 2 + ac + c 2).
Esempio.È necessario calcolare il volume della figura che rimarrà dopo aver sottratto la figura volumetrica gialla, che è anche un cubo, dal volume del cubo blu. Si conosce solo la dimensione del lato di un cubo piccolo e grande.
Se i valori dei lati sono piccoli, i calcoli sono abbastanza semplici. E se le lunghezze dei lati sono espresse in numeri significativi, vale la pena utilizzare una formula chiamata "Differenza di cubi" (o "Difference Cube"), che semplificherà notevolmente i calcoli.
Differenza di quadrati
Deriviamo la formula per la differenza dei quadrati $a^2-b^2$.
Per fare ciò, ricorda la seguente regola:
Se un qualsiasi monomio viene aggiunto all'espressione e lo stesso monomio viene sottratto, otteniamo l'identità corretta.
Aggiungiamo alla nostra espressione e sottraiamo da essa il monomio $ab$:
In totale otteniamo:
Cioè, la differenza dei quadrati di due monomi è uguale al prodotto della loro differenza per la loro somma.
Esempio 1
Esprimere come prodotto di $(4x)^2-y^2$
\[(4x)^2-y^2=((2x))^2-y^2\]
\[((2x))^2-y^2=\sinistra(2x-y\destra)(2x+y)\]
Somma di cubi
Deriviamo la formula per la somma dei cubi $a^3+b^3$.
Prendiamo i fattori comuni fuori parentesi:
Prendiamo $\left(a+b\right)$ tra parentesi:
In totale otteniamo:
Cioè, la somma dei cubi di due monomi è uguale al prodotto della loro somma per il quadrato incompleto della loro differenza.
Esempio 2
Esprimere come prodotto $(8x)^3+y^3$
Questa espressione può essere riscritta nella seguente forma:
\[(8x)^3+y^3=((2x))^3+y^3\]
Usando la formula della differenza dei quadrati otteniamo:
\[((2x))^3+y^3=\sinistra(2x+y\destra)(4x^2-2xy+y^2)\]
Differenza di cubi
Deriviamo la formula per la differenza dei cubi $a^3-b^3$.
Per fare questo, useremo la stessa regola di cui sopra.
Aggiungiamo alla nostra espressione e sottraiamo da essa i monomi $a^2b\ e\ (ab)^2$:
Prendiamo i fattori comuni fuori parentesi:
Prendiamo $\left(a-b\right)$ tra parentesi:
In totale otteniamo:
Cioè, la differenza dei cubi di due monomi è uguale al prodotto della loro differenza per il quadrato incompleto della loro somma.
Esempio 3
Esprimere come prodotto di $(8x)^3-y^3$
Questa espressione può essere riscritta nella seguente forma:
\[(8x)^3-y^3=((2x))^3-y^3\]
Usando la formula della differenza dei quadrati otteniamo:
\[((2x))^3-y^3=\sinistra(2x-y\destra)(4x^2+2xy+y^2)\]
Un esempio di attività per l'utilizzo delle formule per la differenza dei quadrati e la somma e la differenza dei cubi
Esempio 4
Moltiplicare.
a) $((a+5))^2-9$
c) $-x^3+\frac(1)(27)$
Soluzione:
a) $((a+5))^2-9$
\[(((a+5))^2-9=(a+5))^2-3^2\]
Applicando la formula della differenza dei quadrati otteniamo:
\[((a+5))^2-3^2=\sinistra(a+5-3\destra)\sinistra(a+5+3\destra)=\sinistra(a+2\destra)(a +8)\]
Scriviamo questa espressione nella forma:
Applichiamo la formula dei cubi di cubi:
c) $-x^3+\frac(1)(27)$
Scriviamo questa espressione nella forma:
\[-x^3+\frac(1)(27)=(\sinistra(\frac(1)(3)\destra))^3-x^3\]
Applichiamo la formula dei cubi di cubi:
\[(\left(\frac(1)(3)\right))^3-x^3=\left(\frac(1)(3)-x\right)\left(\frac(1)( 9)+\frac(x)(3)+x^2\destra)\]
Formule di moltiplicazione abbreviate.
Studio delle formule per la moltiplicazione abbreviata: il quadrato della somma e il quadrato della differenza di due espressioni; differenza dei quadrati di due espressioni; il cubo della somma e il cubo della differenza di due espressioni; somme e differenze di cubi di due espressioni.
Applicazione di formule di moltiplicazione abbreviate durante la risoluzione di esempi.
Per semplificare le espressioni, fattorizzare i polinomi e ridurre i polinomi a una forma standard, vengono utilizzate formule di moltiplicazione abbreviate. Formule di moltiplicazione abbreviate che devi conoscere a memoria.
Siano a, b R. Allora:
1. Il quadrato della somma di due espressioni è il quadrato della prima espressione più due volte il prodotto della prima espressione e la seconda più il quadrato della seconda espressione.
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
2. Il quadrato della differenza di due espressioni è il quadrato della prima espressione meno il doppio del prodotto della prima espressione e la seconda più il quadrato della seconda espressione.
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
3. Differenza di quadrati due espressioni è uguale al prodotto della differenza di queste espressioni e della loro somma.
a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b)
4. somma cubo di due espressioni è uguale al cubo della prima espressione più tre volte il quadrato della prima espressione per la seconda più tre volte il prodotto della prima espressione per il quadrato della seconda più il cubo della seconda espressione.
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
5. cubo differenza di due espressioni è uguale al cubo della prima espressione meno tre volte il prodotto del quadrato della prima espressione e della seconda più tre volte il prodotto della prima espressione e il quadrato della seconda meno il cubo della seconda espressione.
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
6. Somma di cubi due espressioni è uguale al prodotto della somma della prima e della seconda espressione per il quadrato incompleto della differenza di queste espressioni.
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
7. Differenza di cubi di due espressioni è uguale al prodotto della differenza della prima e della seconda espressione per il quadrato incompleto della somma di queste espressioni.
a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Applicazione di formule di moltiplicazione abbreviate durante la risoluzione di esempi.
Esempio 1
Calcolare
a) Usando la formula per il quadrato della somma di due espressioni, abbiamo
(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681
b) Usando la formula per la differenza al quadrato di due espressioni, otteniamo
98 2 \u003d (100 - 2) 2 \u003d 100 2 - 2 100 2 + 2 2 \u003d 10000 - 400 + 4 \u003d 9604
Esempio 2
Calcolare
Usando la formula per la differenza dei quadrati di due espressioni, otteniamo
Esempio 3
Semplifica l'espressione
(x - y) 2 + (x + y) 2
Usiamo le formule per il quadrato della somma e il quadrato della differenza di due espressioni
(x - y) 2 + (x + y) 2 \u003d x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 \u003d 2x 2 + 2y 2
Formule di moltiplicazione abbreviate in una tabella:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Nelle lezioni precedenti, abbiamo considerato due modi per scomporre in fattori un polinomio: l'eliminazione del fattore comune tra parentesi e il metodo di raggruppamento.
In questa lezione vedremo un altro modo per fattorizzare un polinomio utilizzando formule di moltiplicazione abbreviate.
Ti consigliamo di scrivere ogni formula almeno 12 volte. Per una migliore memorizzazione, annota tutte le formule di moltiplicazione abbreviate su un piccolo foglietto.
Ricorda come appare la formula per la differenza dei cubi.
un 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2)La formula per la differenza dei cubi non è molto facile da ricordare, quindi ti consigliamo di utilizzare un modo speciale per ricordarla.
È importante capire che funziona anche qualsiasi formula di moltiplicazione abbreviata rovescio.
(a − b)(a 2 + ab + b 2) = a 3 − b 3Considera un esempio. È necessario fattorizzare la differenza dei cubi.
Nota che "27a 3" è "(3a) 3", il che significa che per la formula per la differenza dei cubi, invece di "a", usiamo "3a".
Usiamo la formula per la differenza dei cubi. Al posto di “a 3” abbiamo “27a 3”, e al posto di “b 3”, come nella formula, c'è “b 3”.
Applicazione della differenza del cubo al contrario
Consideriamo un altro esempio. È necessario convertire il prodotto dei polinomi nella differenza dei cubi utilizzando la formula di moltiplicazione abbreviata.
Si noti che il prodotto dei polinomi "(x - 1) (x 2 + x + 1)" Assomiglia al lato destro della formula per la differenza di cubi "", solo invece di " a" è " x", E in il posto di " b" è " 1» .
Per "(x − 1)(x 2 + x + 1)", usiamo la formula per la differenza dei cubi nella direzione opposta.
Consideriamo un esempio più difficile. È necessario semplificare il prodotto di polinomi.
Se confrontiamo "(y 2 − 1)(y 4 + y 2 + 1)" con il lato destro della formula per la differenza dei cubi
« un 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2)”, quindi puoi capire che al posto di " a" dalla prima parentesi c'è " y 2, e al posto di " b" c'è " 1".
Le formule di moltiplicazione abbreviate (FSU) vengono utilizzate per elevare a potenza e moltiplicare numeri ed espressioni. Spesso queste formule consentono di eseguire calcoli in modo più compatto e rapido.
In questo articolo elencheremo le formule principali per la moltiplicazione abbreviata, le raggrupperemo in una tabella, prenderemo in considerazione esempi di utilizzo di queste formule e ci soffermeremo anche sui principi per dimostrare le formule di moltiplicazione abbreviate.
Per la prima volta il tema della FSU viene considerato all'interno del corso "Algebra" per la 7a elementare. Di seguito sono riportate 7 formule di base.
Formule di moltiplicazione abbreviate
- formula della somma dei quadrati: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
- formula del quadrato della differenza: a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2
- somma cubo formula: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
- formula del cubo di differenza: a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
- formula della differenza di quadrati: a 2 - b 2 \u003d a - b a + b
- formula per la somma dei cubi: a 3 + b 3 \u003d a + b a 2 - a b + b 2
- formula della differenza del cubo: a 3 - b 3 \u003d a - b a 2 + a b + b 2
Le lettere a, b, c in queste espressioni possono essere qualsiasi numero, variabile o espressione. Per facilità d'uso, è meglio imparare a memoria le sette formule di base. Li riassumiamo in una tabella e li riportiamo di seguito, cerchiandoli con un riquadro.
Le prime quattro formule permettono di calcolare, rispettivamente, il quadrato o il cubo della somma o della differenza di due espressioni.
La quinta formula calcola la differenza dei quadrati delle espressioni moltiplicando la loro somma e differenza.
La sesta e la settima formula sono, rispettivamente, la moltiplicazione della somma e della differenza di espressioni per il quadrato incompleto della differenza e il quadrato incompleto della somma.
La formula di moltiplicazione abbreviata è talvolta chiamata anche identità di moltiplicazione abbreviata. Questo non è sorprendente, poiché ogni uguaglianza è un'identità.
Quando si risolvono esempi pratici, vengono spesso utilizzate formule di moltiplicazione abbreviate con parti sinistra e destra riorganizzate. Ciò è particolarmente utile quando si fattorizza un polinomio.
Ulteriori formule di moltiplicazione abbreviate
Non ci limiteremo al corso di algebra della seconda media e aggiungeremo qualche altra formula alla nostra tabella FSU.
Innanzitutto, considera la formula binomiale di Newton.
un + b n = C n 0 un n + C n 1 un n - 1 b + C n 2 un n - 2 b 2 + . . + C n n - 1 a b n - 1 + C n n b n
Qui C n k sono i coefficienti binomiali che sono nella riga numero n nel triangolo di Pascal. I coefficienti binomiali sono calcolati dalla formula:
C nk = n ! K! · (n - k) ! = n (n - 1) (n - 2) . . (n - (k - 1)) k !
Come puoi vedere, l'FSU per il quadrato e il cubo della differenza e della somma è un caso speciale della formula binomiale di Newton rispettivamente per n=2 e n=3.
Ma cosa succede se ci sono più di due termini nella somma da elevare a potenza? Sarà utile la formula per il quadrato della somma di tre, quattro o più termini.
un 1 + un 2 + . . + un n 2 = un 1 2 + un 2 2 + . . + un n 2 + 2 un 1 un 2 + 2 un 1 un 3 + . . + 2 un 1 un n + 2 un 2 un 3 + 2 un 2 un 4 + . . + 2 a 2 a n + 2 a n - 1 a n
Un'altra formula che può tornare utile è la formula per la differenza delle ennesime potenze di due termini.
un n - b n = un - b un n - 1 + un n - 2 b + un n - 3 b 2 + . . + la 2 b n - 2 + b n - 1
Questa formula è solitamente divisa in due formule, rispettivamente per i gradi pari e dispari.
Per esponenti pari 2m:
un 2 m - b 2 m = un 2 - b 2 un 2 m - 2 + un 2 m - 4 b 2 + un 2 m - 6 b 4 + . . + b 2 m - 2
Per esponenti dispari 2m+1:
un 2 m + 1 - b 2 m + 1 = un 2 - b 2 un 2 m + un 2 m - 1 b + un 2 m - 2 b 2 + . . + b 2 m
Le formule per la differenza dei quadrati e la differenza dei cubi, hai indovinato, sono casi speciali di questa formula rispettivamente per n = 2 e n = 3. Per la differenza di cubi, b è anche sostituito da - b .
Come leggere le formule di moltiplicazione abbreviate?
Daremo le corrispondenti formulazioni per ogni formula, ma prima ci occuperemo del principio della lettura delle formule. Il modo più semplice per farlo è con un esempio. Prendiamo la primissima formula per il quadrato della somma di due numeri.
un + b 2 = un 2 + 2 un b + b 2 .
Dicono: il quadrato della somma di due espressioni aeb è uguale alla somma del quadrato della prima espressione, il doppio del prodotto delle espressioni e il quadrato della seconda espressione.
Tutte le altre formule vengono lette in modo simile. Per la differenza al quadrato a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2 scriviamo:
il quadrato della differenza di due espressioni aeb è uguale alla somma dei quadrati di queste espressioni meno il doppio del prodotto della prima e della seconda espressione.
Leggiamo la formula a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3. Il cubo della somma di due espressioni a e b è uguale alla somma dei cubi di queste espressioni, tre volte il prodotto del quadrato della prima espressione e della seconda, e tre volte il prodotto del quadrato della seconda espressione e la prima espressione.
Procediamo alla lettura della formula per la differenza dei cubi a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3. Il cubo della differenza di due espressioni a e b è uguale al cubo della prima espressione meno tre volte il quadrato della prima espressione e della seconda, più tre volte il quadrato della seconda espressione e della prima espressione, meno il cubo della seconda espressione.
La quinta formula a 2 - b 2 \u003d a - b a + b (differenza di quadrati) si legge così: la differenza dei quadrati di due espressioni è uguale al prodotto della differenza e alla somma delle due espressioni.
Espressioni come a 2 + a b + b 2 e a 2 - a b + b 2 per comodità sono chiamate rispettivamente quadrato incompleto della somma e quadrato incompleto della differenza.
Con questo in mente, le formule per la somma e la differenza dei cubi si leggono come segue:
La somma dei cubi di due espressioni è uguale al prodotto della somma di queste espressioni e del quadrato incompleto della loro differenza.
La differenza dei cubi di due espressioni è uguale al prodotto della differenza di queste espressioni per il quadrato incompleto della loro somma.
A prova di FSU
Dimostrare FSU è abbastanza semplice. Sulla base delle proprietà della moltiplicazione, eseguiremo la moltiplicazione delle parti delle formule tra parentesi.
Ad esempio, considera la formula per il quadrato della differenza.
a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.
Per elevare un'espressione alla seconda potenza, l'espressione deve essere moltiplicata per se stessa.
a - b 2 \u003d a - b a - b.
Allarghiamo le parentesi:
a - b a - b \u003d a 2 - a b - b a + b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.
La formula è stata dimostrata. Gli altri UST sono dimostrati in modo simile.
Esempi di applicazione di FSO
Lo scopo dell'utilizzo di formule di moltiplicazione ridotte è quello di moltiplicare ed elevare a potenza in modo rapido e conciso le espressioni. Tuttavia, questo non è l'intero campo di applicazione dell'UST. Sono ampiamente utilizzati nella riduzione di espressioni, riduzione di frazioni, fattorizzazione di polinomi. Facciamo degli esempi.
Esempio 1. UST
Semplifichiamo l'espressione 9 y - (1 + 3 y) 2 .
Applica la formula della somma dei quadrati e ottieni:
9 y - (1 + 3 y) 2 = 9 y - (1 + 6 y + 9 y 2) = 9 y - 1 - 6 y - 9 y 2 = 3 y - 1 - 9 y 2
Esempio 2. UST
Ridurre la frazione 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 .
Notiamo che l'espressione al numeratore è la differenza dei cubi e al denominatore la differenza dei quadrati.
8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 \u003d 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z.
Riduciamo e otteniamo:
8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z
Gli FSU aiutano anche a calcolare i valori delle espressioni. La cosa principale è essere in grado di notare dove applicare la formula. Dimostriamolo con un esempio.
Quadratiamo il numero 79. Invece di calcoli ingombranti, scriviamo:
79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .
Sembrerebbe che un calcolo complesso sia stato eseguito rapidamente con il solo uso di formule di moltiplicazione abbreviate e una tavola pitagorica.
Un altro punto importante è la scelta del quadrato del binomio. L'espressione 4 x 2 + 4 x - 3 può essere convertita in 2 x 2 + 2 2 x 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4 . Tali trasformazioni sono ampiamente utilizzate nell'integrazione.
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