Ang mga formula o panuntunan ng pinababang multiplikasyon ay ginagamit sa aritmetika, at mas partikular sa algebra, para sa mas mabilis na proseso ng pagkalkula ng malalaking algebraic expression. Ang mga formula mismo ay hinango mula sa mga umiiral na panuntunan sa algebra para sa pagpaparami ng ilang polynomial.
Ang paggamit ng mga formula na ito ay nagbibigay ng isang medyo mabilis na solusyon sa iba't ibang mga problema sa matematika, at nakakatulong din na gawing simple ang mga expression. Ang mga alituntunin ng algebraic transformations ay nagbibigay-daan sa iyo na magsagawa ng ilang mga manipulasyon na may mga expression, kasunod nito ay makukuha mo ang expression sa kaliwang bahagi ng pagkakapantay-pantay na nasa kanang bahagi, o baguhin ang kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay (upang makuha ang expression sa kaliwang bahagi pagkatapos ng equal sign).
Maginhawang malaman ang mga formula na ginagamit para sa pinaikling multiplikasyon sa pamamagitan ng memorya, dahil madalas itong ginagamit sa paglutas ng mga problema at equation. Ang mga pangunahing formula na kasama sa listahang ito at ang kanilang mga pangalan ay nakalista sa ibaba.
sum square
Upang kalkulahin ang parisukat ng kabuuan, kailangan mong hanapin ang kabuuan na binubuo ng parisukat ng unang termino, dalawang beses ang produkto ng unang termino at ang pangalawa, at ang parisukat ng pangalawa. Sa anyo ng isang expression, ang panuntunang ito ay nakasulat tulad ng sumusunod: (a + c)² = a² + 2ac + c².
Ang parisukat ng pagkakaiba
Upang kalkulahin ang parisukat ng pagkakaiba, kailangan mong kalkulahin ang kabuuan na binubuo ng parisukat ng unang numero, dalawang beses ang produkto ng unang numero ng pangalawa (kinuha gamit ang kabaligtaran na tanda), at ang parisukat ng pangalawang numero. Sa anyo ng isang expression, ganito ang hitsura ng panuntunang ito: (a - c)² \u003d a² - 2ac + c².
Pagkakaiba ng mga parisukat
Ang formula para sa pagkakaiba ng dalawang numero na naka-squad ay katumbas ng produkto ng kabuuan ng mga numerong ito at ang kanilang pagkakaiba. Sa anyo ng isang expression, ang panuntunang ito ay ganito ang hitsura: a² - c² \u003d (a + c) (a - c).
sum cube
Upang kalkulahin ang kubo ng kabuuan ng dalawang termino, kinakailangang kalkulahin ang kabuuan na binubuo ng kubo ng unang termino, triple ang produkto ng parisukat ng unang termino at ang pangalawa, ang triple produkto ng unang termino at ang ikalawang parisukat, at ang kubo ng ikalawang termino. Sa anyo ng isang expression, ganito ang hitsura ng panuntunang ito: (a + c)³ \u003d a³ + 3a²c + 3ac² + c³.
Kabuuan ng mga cube
Ayon sa formula, ito ay katumbas ng produkto ng kabuuan ng mga terminong ito at ang kanilang hindi kumpletong parisukat ng pagkakaiba. Sa anyo ng isang expression, ganito ang hitsura ng panuntunang ito: a³ + c³ \u003d (a + c) (a² - ac + c²).
Halimbawa. Kinakailangan upang kalkulahin ang dami ng figure, na nabuo sa pamamagitan ng pagdaragdag ng dalawang cube. Tanging ang magnitude ng kanilang mga panig ay kilala.
Kung ang mga halaga ng mga panig ay maliit, kung gayon madali itong magsagawa ng mga kalkulasyon.
Kung ang mga haba ng mga gilid ay ipinahayag sa masalimuot na mga numero, kung gayon sa kasong ito ay mas madaling ilapat ang formula na "Sum of Cubes", na lubos na magpapasimple sa mga kalkulasyon.
pagkakaiba cube
Ang ekspresyon para sa pagkakaibang kubiko ay ganito ang tunog: bilang kabuuan ng ikatlong kapangyarihan ng unang termino, triple ang negatibong produkto ng parisukat ng unang termino sa pangalawa, triple ang produkto ng unang termino ng parisukat ng pangalawa , at ang negatibong kubo ng ikalawang termino. Sa anyo ng isang mathematical expression, ganito ang hitsura ng difference cube: (a - c)³ \u003d a³ - 3a²c + 3ac² - c³.
Pagkakaiba ng mga cube
Ang formula para sa pagkakaiba ng mga cube ay naiiba sa kabuuan ng mga cube sa pamamagitan lamang ng isang tanda. Kaya, ang pagkakaiba ng mga cube ay isang formula na katumbas ng produkto ng pagkakaiba ng mga numerong ito sa pamamagitan ng kanilang hindi kumpletong parisukat ng kabuuan. Sa anyo, ang pagkakaiba ng mga cube ay ganito ang hitsura: a 3 - c 3 \u003d (a - c) (a 2 + ac + c 2).
Halimbawa. Kinakailangang kalkulahin ang dami ng figure na mananatili pagkatapos ng pagbabawas ng dilaw na volumetric figure, na isa ring kubo, mula sa dami ng asul na kubo. Tanging ang sukat ng gilid ng isang maliit at malaking kubo ang nalalaman.
Kung ang mga halaga ng mga gilid ay maliit, kung gayon ang mga kalkulasyon ay medyo simple. At kung ang mga haba ng mga gilid ay ipinahayag sa mga makabuluhang numero, kung gayon ito ay nagkakahalaga ng paggamit ng isang formula na pinamagatang "Pagkakaiba ng mga Cube" (o "Pagkakaiba ng Cube"), na lubos na magpapasimple sa mga kalkulasyon.
Pagkakaiba ng mga parisukat
Nakukuha namin ang formula para sa pagkakaiba ng mga parisukat na $a^2-b^2$.
Upang gawin ito, tandaan ang sumusunod na panuntunan:
Kung ang anumang monomial ay idinagdag sa expression at ang parehong monomial ay ibabawas, pagkatapos ay makukuha natin ang tamang pagkakakilanlan.
Idagdag natin sa ating expression at ibawas dito ang monomial na $ab$:
Sa kabuuan, nakukuha namin ang:
Iyon ay, ang pagkakaiba ng mga parisukat ng dalawang monomial ay katumbas ng produkto ng kanilang pagkakaiba at ang kanilang kabuuan.
Halimbawa 1
Ipahayag bilang isang produkto ng $(4x)^2-y^2$
\[(4x)^2-y^2=((2x))^2-y^2\]
\[((2x))^2-y^2=\kaliwa(2x-y\kanan)(2x+y)\]
Kabuuan ng mga cube
Nakukuha namin ang formula para sa kabuuan ng mga cube $a^3+b^3$.
Alisin natin ang mga karaniwang salik sa mga bracket:
Alisin natin ang $\left(a+b\right)$ sa mga bracket:
Sa kabuuan, nakukuha namin ang:
Iyon ay, ang kabuuan ng mga cube ng dalawang monomial ay katumbas ng produkto ng kanilang kabuuan sa pamamagitan ng hindi kumpletong parisukat ng kanilang pagkakaiba.
Halimbawa 2
Ipahayag bilang isang produkto $(8x)^3+y^3$
Ang expression na ito ay maaaring muling isulat sa sumusunod na anyo:
\[(8x)^3+y^3=((2x))^3+y^3\]
Gamit ang formula ng pagkakaiba ng mga parisukat, nakukuha namin:
\[((2x))^3+y^3=\kaliwa(2x+y\kanan)(4x^2-2xy+y^2)\]
Pagkakaiba ng mga cube
Nakukuha namin ang formula para sa pagkakaiba ng mga cube $a^3-b^3$.
Upang gawin ito, gagamitin namin ang parehong panuntunan tulad ng nasa itaas.
Idagdag natin sa ating expression at ibawas mula rito ang mga monomial na $a^2b\ at\ (ab)^2$:
Alisin natin ang mga karaniwang salik sa mga bracket:
Alisin natin ang $\left(a-b\right)$ sa mga bracket:
Sa kabuuan, nakukuha namin ang:
Iyon ay, ang pagkakaiba ng mga cube ng dalawang monomial ay katumbas ng produkto ng kanilang pagkakaiba sa pamamagitan ng hindi kumpletong parisukat ng kanilang kabuuan.
Halimbawa 3
Ipahayag bilang isang produkto ng $(8x)^3-y^3$
Ang expression na ito ay maaaring muling isulat sa sumusunod na anyo:
\[(8x)^3-y^3=((2x))^3-y^3\]
Gamit ang formula ng pagkakaiba ng mga parisukat, nakukuha namin:
\[((2x))^3-y^3=\kaliwa(2x-y\kanan)(4x^2+2xy+y^2)\]
Isang halimbawa ng mga gawain para sa paggamit ng mga formula para sa pagkakaiba ng mga parisukat at ang kabuuan at pagkakaiba ng mga cube
Halimbawa 4
Paramihin.
a) $((a+5))^2-9$
c) $-x^3+\frac(1)(27)$
Solusyon:
a) $((a+5))^2-9$
\[(((a+5))^2-9=(a+5))^2-3^2\]
Ang paglalapat ng pagkakaiba ng formula ng mga parisukat, nakukuha namin:
\[((a+5))^2-3^2=\kaliwa(a+5-3\kanan)\kaliwa(a+5+3\kanan)=\kaliwa(a+2\kanan)(a +8)\]
Isulat natin ang expression na ito sa form:
Ilapat natin ang formula ng cubes of cubes:
c) $-x^3+\frac(1)(27)$
Isulat natin ang expression na ito sa form:
\[-x^3+\frac(1)(27)=(\left(\frac(1)(3)\right))^3-x^3\]
Ilapat natin ang formula ng cubes of cubes:
\[(\left(\frac(1)(3)\right))^3-x^3=\left(\frac(1)(3)-x\right)\left(\frac(1)( 9)+\frac(x)(3)+x^2\kanan)\]
Mga pinaikling pormula ng pagpaparami.
Pag-aaral ng mga formula para sa pinaikling multiplikasyon: ang parisukat ng kabuuan at ang parisukat ng pagkakaiba ng dalawang expression; pagkakaiba ng mga parisukat ng dalawang expression; ang kubo ng kabuuan at ang kubo ng pagkakaiba ng dalawang expression; mga kabuuan at pagkakaiba ng mga cube ng dalawang expression.
Paglalapat ng mga pinaikling pormula ng multiplikasyon sa paglutas ng mga halimbawa.
Upang pasimplehin ang mga expression, i-factorize ang mga polynomial, at bawasan ang mga polynomial sa isang karaniwang anyo, ginagamit ang mga pinaikling formula ng multiplikasyon. Mga pinaikling formula ng multiplikasyon na kailangan mong malaman sa puso.
Hayaan ang a, b R. Pagkatapos:
1. Ang parisukat ng kabuuan ng dalawang expression ay ang parisukat ng unang expression kasama ang dalawang beses ang produkto ng unang expression at ang pangalawa kasama ang parisukat ng pangalawang expression.
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
2. Ang parisukat ng pagkakaiba ng dalawang expression ay ang parisukat ng unang expression na binawasan ng dalawang beses ang produkto ng unang expression at ang pangalawa kasama ang parisukat ng pangalawang expression.
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
3. Pagkakaiba ng mga parisukat dalawang expression ay katumbas ng produkto ng pagkakaiba ng mga expression na ito at ang kanilang kabuuan.
a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b)
4. sum cube ng dalawang expression ay katumbas ng kubo ng unang expression plus tatlong beses ang parisukat ng unang expression na beses ang pangalawa at tatlong beses ang produkto ng unang expression na beses ang square ng pangalawa kasama ang cube ng pangalawang expression.
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
5. pagkakaiba cube ng dalawang expression ay katumbas ng kubo ng unang expression na binawasan ng tatlong beses ang produkto ng parisukat ng unang expression at ang pangalawa plus tatlong beses ang produkto ng unang expression at ang parisukat ng pangalawang minus ang cube ng pangalawang expression.
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
6. Kabuuan ng mga cube dalawang expression ay katumbas ng produkto ng kabuuan ng una at pangalawang expression ng hindi kumpletong parisukat ng pagkakaiba ng mga expression na ito.
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
7. Pagkakaiba ng mga cube ng dalawang expression ay katumbas ng produkto ng pagkakaiba ng una at pangalawang expression ng hindi kumpletong parisukat ng kabuuan ng mga expression na ito.
a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Paglalapat ng mga pinaikling pormula ng multiplikasyon sa paglutas ng mga halimbawa.
Halimbawa 1
Kalkulahin
a) Gamit ang formula para sa parisukat ng kabuuan ng dalawang expression, mayroon tayo
(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681
b) Gamit ang formula para sa squared difference ng dalawang expression, nakuha namin
98 2 \u003d (100 - 2) 2 \u003d 100 2 - 2 100 2 + 2 2 \u003d 10000 - 400 + 4 \u003d 9604
Halimbawa 2
Kalkulahin
Gamit ang formula para sa pagkakaiba ng mga parisukat ng dalawang expression, nakuha namin
Halimbawa 3
Pasimplehin ang Expression
(x - y) 2 + (x + y) 2
Ginagamit namin ang mga formula para sa parisukat ng kabuuan at parisukat ng pagkakaiba ng dalawang expression
(x - y) 2 + (x + y) 2 \u003d x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 \u003d 2x 2 + 2y 2
Mga pinaikling pormula ng pagpaparami sa isang talahanayan:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Sa nakaraang mga aralin, isinasaalang-alang namin ang dalawang paraan upang i-factor ang isang polynomial: pag-alis ng common factor sa mga bracket at ang paraan ng pagpapangkat.
Sa araling ito, titingnan natin ang isa pang paraan ng pag-factorize ng polynomial gamit ang mga pinaikling pormula ng pagpaparami.
Inirerekomenda namin na isulat mo ang bawat formula nang hindi bababa sa 12 beses. Para sa mas mahusay na pagsasaulo, isulat ang lahat ng mga pinaikling formula ng pagpaparami para sa iyong sarili sa isang maliit na cheat sheet.
Alalahanin kung ano ang hitsura ng formula para sa pagkakaiba ng mga cube.
a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)Ang formula para sa pagkakaiba ng mga cube ay hindi masyadong madaling matandaan, kaya inirerekomenda namin ang paggamit ng isang espesyal na paraan upang matandaan ito.
Mahalagang maunawaan na gumagana din ang anumang pinaikling formula ng multiplikasyon reverse side.
(a − b)(a 2 + ab + b 2) = a 3 − b 3Isaalang-alang ang isang halimbawa. Kinakailangan na i-factor ang pagkakaiba ng mga cube.
Tandaan na ang "27a 3" ay "(3a) 3", na nangangahulugang para sa formula para sa pagkakaiba ng mga cube, sa halip na "a", ginagamit namin ang "3a".
Ginagamit namin ang formula para sa pagkakaiba ng mga cube. Sa lugar ng "a 3", mayroon kaming "27a 3", at kapalit ng "b 3", tulad ng sa formula, mayroong "b 3".
Paglalapat ng pagkakaiba sa kubo sa kabaligtaran
Isaalang-alang natin ang isa pang halimbawa. Kinakailangang i-convert ang produkto ng mga polynomial sa pagkakaiba ng mga cube gamit ang pinaikling formula ng multiplikasyon.
Pakitandaan na ang produkto ng polynomials "(x − 1) (x 2 + x + 1)" ay kahawig sa kanang bahagi ng formula para sa pagkakaiba ng mga cube "", tanging sa halip na " a" ay " x", At sa ang lugar ng "b" ay "1" .
Para sa "(x − 1)(x 2 + x + 1)", ginagamit namin ang formula para sa pagkakaiba ng mga cube sa tapat na direksyon.
Isaalang-alang natin ang isang mas mahirap na halimbawa. Kinakailangang gawing simple ang produkto ng polynomials.
Kung ihahambing natin ang "(y 2 − 1)(y 4 + y 2 + 1)" sa kanang bahagi ng formula para sa pagkakaiba ng mga cube
« a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)”, pagkatapos ay mauunawaan mo na ang kapalit ng “ a" mula sa unang bracket ay " y 2, at kapalit ng " b" ay " 1".
Ginagamit ang mga pinaikling formula ng multiplikasyon (FSU) upang i-exponentiate at i-multiply ang mga numero at expression. Kadalasan ang mga formula na ito ay nagpapahintulot sa iyo na gumawa ng mga kalkulasyon nang mas compact at mabilis.
Sa artikulong ito, ililista namin ang mga pangunahing formula para sa pinaikling multiplikasyon, pangkatin ang mga ito sa isang talahanayan, isaalang-alang ang mga halimbawa ng paggamit ng mga formula na ito, at talakayin din ang mga prinsipyo para sa pagpapatunay ng mga pinaikling formula ng multiplikasyon.
Sa unang pagkakataon, ang paksa ng FSU ay isinasaalang-alang sa loob ng kursong "Algebra" para sa ika-7 baitang. Nasa ibaba ang 7 pangunahing formula.
Mga pinaikling pormula ng pagpaparami
- sum square formula: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
- pagkakaiba ng square formula: a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2
- sum cube formula: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
- formula ng cube ng pagkakaiba: a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
- pagkakaiba ng formula ng mga parisukat: a 2 - b 2 \u003d a - b a + b
- formula para sa kabuuan ng mga cube: a 3 + b 3 \u003d a + b a 2 - a b + b 2
- formula ng pagkakaiba ng cube: a 3 - b 3 \u003d a - b a 2 + a b + b 2
Ang mga titik a, b, c sa mga expression na ito ay maaaring maging anumang numero, variable o expression. Para sa kadalian ng paggamit, mas mahusay na matutunan ang pitong pangunahing mga formula sa pamamagitan ng puso. Binubuod namin ang mga ito sa isang talahanayan at ibigay ang mga ito sa ibaba, na binibilog ang mga ito ng isang kahon.
Hinahayaan ka ng unang apat na formula na kalkulahin, ayon sa pagkakabanggit, ang parisukat o kubo ng kabuuan o pagkakaiba ng dalawang expression.
Kinakalkula ng ikalimang formula ang pagkakaiba ng mga parisukat ng mga expression sa pamamagitan ng pagpaparami ng kanilang kabuuan at pagkakaiba.
Ang ikaanim at ikapitong formula ay, ayon sa pagkakabanggit, ang multiplikasyon ng kabuuan at pagkakaiba ng mga expression sa pamamagitan ng hindi kumpletong parisukat ng pagkakaiba at ang hindi kumpletong parisukat ng kabuuan.
Ang pinaikling pormula ng pagpaparami ay tinatawag ding pinaikling mga pagkakakilanlan ng pagpaparami. Ito ay hindi nakakagulat, dahil ang bawat pagkakapantay-pantay ay isang pagkakakilanlan.
Kapag nilulutas ang mga praktikal na halimbawa, ang mga pinaikling pormula ng pagpaparami ay kadalasang ginagamit na may muling pagkakaayos sa kaliwa at kanang bahagi. Ito ay lalong maginhawa kapag nagsasaliksik ng isang polynomial.
Mga karagdagang pinaikling formula ng multiplikasyon
Hindi namin lilimitahan ang aming sarili sa kursong ika-7 baitang sa algebra at magdagdag ng ilan pang mga formula sa aming talahanayan ng FSU.
Una, isaalang-alang ang binomial formula ni Newton.
a + b n = C n 0 a n + C n 1 a n - 1 b + C n 2 a n - 2 b 2 + . . + C n n - 1 a b n - 1 + C n n b n
Narito ang C n k ay ang binomial coefficients na nasa linyang numero n sa tatsulok ng pascal. Ang mga binomial coefficient ay kinakalkula ng formula:
C nk = n ! k! · (n - k) ! = n (n - 1) (n - 2) . . (n - (k - 1)) k !
Tulad ng makikita mo, ang FSU para sa parisukat at kubo ng pagkakaiba at ang kabuuan ay isang espesyal na kaso ng binomial na formula ng Newton para sa n=2 at n=3, ayon sa pagkakabanggit.
Ngunit paano kung mayroong higit sa dalawang termino sa kabuuan na itataas sa isang kapangyarihan? Ang formula para sa parisukat ng kabuuan ng tatlo, apat o higit pang termino ay magiging kapaki-pakinabang.
isang 1 + isang 2 + . . + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 + . . + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 + . . + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 + . . + 2 a 2 a n + 2 a n - 1 a n
Ang isa pang formula na maaaring magamit ay ang formula para sa pagkakaiba ng ika-n na kapangyarihan ng dalawang termino.
a n - b n = a - b a n - 1 + a n - 2 b + a n - 3 b 2 + . . + a 2 b n - 2 + b n - 1
Ang formula na ito ay karaniwang nahahati sa dalawang formula - ayon sa pagkakabanggit para sa kahit at kakaibang degree.
Para sa even exponents 2m:
a 2 m - b 2 m = a 2 - b 2 a 2 m - 2 + a 2 m - 4 b 2 + a 2 m - 6 b 4 + . . + b 2 m - 2
Para sa mga kakaibang exponent 2m+1:
a 2 m + 1 - b 2 m + 1 = a 2 - b 2 a 2 m + a 2 m - 1 b + a 2 m - 2 b 2 + . . + b 2 m
Ang mga formula para sa pagkakaiba ng mga parisukat at ang pagkakaiba ng mga cube, nahulaan mo, ay mga espesyal na kaso ng formula na ito para sa n = 2 at n = 3, ayon sa pagkakabanggit. Para sa pagkakaiba ng mga cube, ang b ay pinalitan din ng - b .
Paano basahin ang mga pinaikling formula ng multiplikasyon?
Ibibigay namin ang kaukulang mga formulation para sa bawat formula, ngunit una naming haharapin ang prinsipyo ng pagbabasa ng mga formula. Ang pinakamadaling paraan upang gawin ito ay sa pamamagitan ng isang halimbawa. Kunin natin ang pinakaunang formula para sa parisukat ng kabuuan ng dalawang numero.
a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 .
Sabi nila: ang parisukat ng kabuuan ng dalawang expression a at b ay katumbas ng kabuuan ng parisukat ng unang expression, dalawang beses ang produkto ng mga expression at ang parisukat ng pangalawang expression.
Ang lahat ng iba pang mga formula ay binabasa nang katulad. Para sa squared difference a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2 isinusulat namin:
ang parisukat ng pagkakaiba ng dalawang expression a at b ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga expression na ito na binawasan ng dalawang beses ang produkto ng una at pangalawang expression.
Basahin natin ang formula a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3. Ang cube ng kabuuan ng dalawang expression a at b ay katumbas ng kabuuan ng mga cube ng mga expression na ito, tatlong beses ang produkto ng parisukat ng unang expression at ang pangalawa, at tatlong beses ang produkto ng square ng pangalawang expression at ang unang pagpapahayag.
Nagpapatuloy kami sa pagbabasa ng formula para sa pagkakaiba ng mga cube a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3. Ang cube ng pagkakaiba ng dalawang expression a at b ay katumbas ng cube ng unang expression na binawasan ng tatlong beses ang square ng unang expression at ang pangalawa, kasama ang tatlong beses ang square ng pangalawang expression at ang unang expression, minus ang cube ng pangalawang ekspresyon.
Ang ikalimang formula a 2 - b 2 \u003d a - b a + b (pagkakaiba ng mga parisukat) ay nagbabasa ng ganito: ang pagkakaiba ng mga parisukat ng dalawang expression ay katumbas ng produkto ng pagkakaiba at ang kabuuan ng dalawang expression.
Ang mga ekspresyong tulad ng a 2 + a b + b 2 at a 2 - a b + b 2 para sa kaginhawahan ay tinatawag, ayon sa pagkakabanggit, ang hindi kumpletong parisukat ng kabuuan at ang hindi kumpletong parisukat ng pagkakaiba.
Sa pag-iisip na ito, ang mga formula para sa kabuuan at pagkakaiba ng mga cube ay binabasa tulad ng sumusunod:
Ang kabuuan ng mga cube ng dalawang expression ay katumbas ng produkto ng kabuuan ng mga expression na ito at ang hindi kumpletong parisukat ng kanilang pagkakaiba.
Ang pagkakaiba ng mga cube ng dalawang expression ay katumbas ng produkto ng pagkakaiba ng mga expression na ito sa pamamagitan ng hindi kumpletong parisukat ng kanilang kabuuan.
Katibayan ng FSU
Ang pagpapatunay ng FSU ay medyo simple. Batay sa mga katangian ng pagpaparami, isasagawa namin ang pagpaparami ng mga bahagi ng mga formula sa mga bracket.
Halimbawa, isaalang-alang ang formula para sa parisukat ng pagkakaiba.
a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.
Upang itaas ang isang expression sa pangalawang kapangyarihan, ang expression ay dapat na i-multiply sa kanyang sarili.
a - b 2 \u003d a - b a - b.
Palawakin natin ang mga bracket:
a - b a - b \u003d a 2 - a b - b a + b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.
Napatunayan na ang formula. Ang iba pang mga FSO ay napatunayang katulad.
Mga halimbawa ng aplikasyon ng FSO
Ang layunin ng paggamit ng pinababang mga formula ng multiplikasyon ay upang mabilis at maigsi na magparami at mag-exponent ng mga expression. Gayunpaman, hindi ito ang buong saklaw ng FSO. Malawakang ginagamit ang mga ito sa pagbabawas ng mga expression, pagbabawas ng mga fraction, factoring polynomials. Magbigay tayo ng mga halimbawa.
Halimbawa 1. FSO
Pasimplehin natin ang expression na 9 y - (1 + 3 y) 2 .
Ilapat ang sum of squares formula at makuha ang:
9 y - (1 + 3 y) 2 = 9 y - (1 + 6 y + 9 y 2) = 9 y - 1 - 6 y - 9 y 2 = 3 y - 1 - 9 y 2
Halimbawa 2. FSO
Bawasan ang bahaging 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 .
Napansin namin na ang expression sa numerator ay ang pagkakaiba ng mga cube, at sa denominator - ang pagkakaiba ng mga parisukat.
8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 \u003d 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z.
Binabawasan namin at nakukuha namin:
8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z
Tumutulong din ang mga FSU na kalkulahin ang mga halaga ng mga expression. Ang pangunahing bagay ay upang mapansin kung saan ilalapat ang formula. Ipakita natin ito sa isang halimbawa.
I-square natin ang bilang na 79. Sa halip na masalimuot na mga kalkulasyon, isinusulat namin:
79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .
Tila ang isang kumplikadong pagkalkula ay natupad nang mabilis gamit lamang ang mga pinaikling formula ng pagpaparami at isang talahanayan ng pagpaparami.
Ang isa pang mahalagang punto ay ang pagpili ng parisukat ng binomial. Ang expression na 4 x 2 + 4 x - 3 ay maaaring i-convert sa 2 x 2 + 2 2 x 1 + 1 2-4 = 2 x + 1 2-4 . Ang ganitong mga pagbabago ay malawakang ginagamit sa pagsasama.
Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter