Как да намерите обема на тетраедър по формула. Обемът на тетраедър. Изчисляване на обема на тетраедър, ако са известни координатите на върховете му

От основната формула за обема на тетраедър

където Се областта на всяко лице и з- височината, спусната върху него, можете да извлечете цяла поредица от формули, изразяващи обема по отношение на различни елементи на тетраедъра. Даваме тези формули за тетраедъра ABCD.

(2) ,

където ∠ ( AD,ABC) е ъгълът между ръба ADи лицева равнина ABC;

(3) ,

където ∠ ( ABC,ABD) е ъгълът между лицата ABCи ABD;

където | AB,CD| - разстояние между срещуположните ребра ABи CD, ∠ (AB,CD) е ъгълът между тези ръбове.

Формули (2)–(4) могат да се използват за намиране на ъглите между прави и равнини; формула (4) е особено полезна, с която можете да намерите разстоянието между косите линии ABи CD.

Формули (2) и (3) са подобни на формулата С = (1/2)абгрях ° Сза площта на триъгълник. Формула С = rpподобна формула

където rе радиусът на вписаната сфера на тетраедъра, Σ е неговата обща повърхност (сумата от площите на всички лица). Има и красива формула, която свързва обема на тетраедър с радиуса Рнеговият описан обхват ( Формула на Крел):

където Δ е площта на триъгълник, чиито страни са числено равни на продуктите на противоположните ръбове ( AB× CD, AC× BD,AD× пр.н.е). От формула (2) и косинусовата теорема за тристенни ъгли (виж Сферична тригонометрия) може да се изведе формула, подобна на формулата на Херон за триъгълници.

Забележка. Това е част от урока със задачи по геометрия (раздел плътна геометрия, задачи за пирамида). Ако трябва да решите задача по геометрия, която не е тук - пишете за това във форума. В задачите вместо символа "квадратен корен" се използва функцията sqrt (), в която sqrt е символът за квадратен корен, а радикалният израз е посочен в скоби.За прости радикални изрази може да се използва знакът "√".. правилен тетраедъре правилна триъгълна пирамида, в която всички лица са равностранни триъгълници.

За правилен тетраедър всички двустенни ъгли при ръбовете и всички тристенни ъгли при върховете са равни

Тетраедърът има 4 лица, 4 върха и 6 ръба.

Основните формули за правилен тетраедър са дадени в таблицата.

Където:
S - Повърхностна площ на правилен тетраедър
V - обем
h - височина, спусната до основата
r - радиус на окръжността, вписана в тетраедъра
R - радиус на описаната окръжност
a - дължина на ребрата

Практически примери

Задача.
Намерете повърхността на триъгълна пирамида с всеки ръб, равен на √3

Решение.
Тъй като всички ръбове на триъгълна пирамида са равни, това е правилно. Повърхността на правилна триъгълна пирамида е S = a 2 √3.
Тогава
S = 3√3

Отговор: 3√3

Задача.
Всички ръбове на правилна триъгълна пирамида са 4 см. Намерете обема на пирамидата

Решение.
Тъй като в правилната триъгълна пирамида височината на пирамидата се проектира в центъра на основата, който е и център на описаната окръжност, тогава

AO = R = √3 / 3a
AO = 4√3 / 3

Така височината на пирамидата OM може да се намери от правоъгълния триъгълник AOM

AO 2 + OM 2 = AM 2
OM 2 = AM 2 - AO 2
OM 2 = 4 2 - (4√3 / 3) 2
OM 2 = 16 - 16/3
OM = √(32/3)
OM = 4√2 / √3

Обемът на пирамидата се намира по формулата V = 1/3 Sh
В този случай намираме площта на основата по формулата S \u003d √3/4 a 2

V = 1/3 (√3 / 4 * 16) (4√2 / √3)
V=16√2/3

Отговор: 16√2/3см

Да разгледаме произволен триъгълник ABC и точка D, която не лежи в равнината на този триъгълник. Свържете тази точка с отсечки с върховете на триъгълника ABC. В резултат на това получаваме триъгълници ADC , CDB , ABD . Повърхнината, ограничена от четири триъгълника ABC, ADC, CDB и ABD, се нарича тетраедър и се означава DABC.
Триъгълниците, които образуват тетраедър, се наричат ​​негови лица.
Страните на тези триъгълници се наричат ​​ръбове на тетраедъра. И техните върхове са върховете на тетраедър

Тетраедърът има 4 лица, 6 ребраи 4 върха.
Две ребра, които нямат общ връх, се наричат ​​противоположни.
Често за удобство се нарича едно от лицата на тетраедъра база, а останалите три лица са странични лица.

По този начин тетраедърът е най-простият многостен, чиито лица са четири триъгълника.

Но също така е вярно, че всяка произволна триъгълна пирамида е тетраедър. Тогава също е вярно, че се нарича тетраедър пирамида с триъгълник в основата си.

Височината на тетраедъранарича сегмент, който свързва връх с точка, разположена на противоположното лице и перпендикулярна на него.
Медиана на тетраедърнарича сегмент, който свързва върха с пресечната точка на медианите на противоположното лице.
Бимедиен тетраедърсе нарича сегмент, който свързва средните точки на пресичащите се ръбове на тетраедъра.

Тъй като тетраедърът е пирамида с триъгълна основа, обемът на всеки тетраедър може да се изчисли по формулата

• Се площта на всяко лице,
• з- височината, спусната на това лице

Правилен тетраедър - специален вид тетраедър

Нарича се тетраедър, в който всички лица са равностранни триъгълници правилно.
Свойства на правилния тетраедър:

• Всички ръбове са равни.
• Всички равнинни ъгли на правилния тетраедър са 60°
• Тъй като всеки негов връх е връх на три правилни триъгълника, сумата от равнинните ъгли във всеки връх е 180°
• Всеки връх на правилен тетраедър се проектира към ортоцентъра на срещуположното лице (към пресечната точка на височините на триъгълника).

Нека ни е даден правилен тетраедър ABCD с ръбове, равни на a . DH е неговата височина.
Да направим допълнителни постройки BM - височината на триъгълника ABC и DM - височината на триъгълника ACD .
Височината BM е равна на BM и е равна
Да разгледаме триъгълник BDM, където DH, което е височината на тетраедъра, е и височината на този триъгълник.
Височината на триъгълник, паднала на страната MB, може да се намери с помощта на формулата

, където
BM=, DM=, BD=a,
p=1/2 (BM+BD+DM)=
Заменете тези стойности във формулата за височина. Вземете


Нека извадим 1/2a. Вземете

Приложете формулата разлика на квадратите

След някои малки трансформации получаваме


Обемът на всеки тетраедър може да се изчисли с помощта на формулата
,
където ,

Замествайки тези стойности, получаваме

Така формулата за обем за правилен тетраедър е

където а– ръб на тетраедър

Изчисляване на обема на тетраедър, ако са известни координатите на върховете му

Нека са ни дадени координатите на върховете на тетраедъра

Начертайте вектори от върха , , .
За да намерите координатите на всеки от тези вектори, извадете съответната начална координата от крайната координата. Вземете

Дефиниция на тетраедър

Тетраедър- най-простото многостенно тяло, чиито лица и основа са триъгълници.

Онлайн калкулатор

Тетраедърът има четири лица, всяко от които е образувано от три страни. Тетраедърът има четири върха, всеки с три ръба.

Това тяло е разделено на няколко типа. По-долу е тяхната класификация.

1. Изоедърен тетраедър- всичките му лица са еднакви триъгълници;
2. Ортоцентричен тетраедър- всички височини, изтеглени от всеки връх до противоположното лице, са еднакви по дължина;
3. Правоъгълен тетраедър- ръбовете, излизащи от един връх, образуват ъгъл от 90 градуса един с друг;
4. кадър;
5. Пропорционално;
6. нецентричен.

Формули за обем на тетраедър

Обемът на дадено тяло може да се намери по няколко начина. Нека ги анализираме по-подробно.

Чрез смесеното произведение на вектори

Ако тетраедърът е изграден от три вектора с координати:

A ⃗ = (a x, a y, a z) \vec(a)=(a_x, a_y, a_z)а= (а х​ , а г​ , а z​ )
b ⃗ = (b x, b y, b z) \vec(b)=(b_x, b_y, b_z)b= (b х​ , b г​ , b z​ )
c ⃗ = (c x, c y, c z) \vec(c)=(c_x, c_y, c_z)° С= (° С х​ , ° С г​ , ° С z​ ) ,

тогава обемът на този тетраедър е смесеното произведение на тези вектори, тоест такава детерминанта:

Обемът на тетраедър през детерминантата

V = 1 6 ⋅ ∣ a x a y a z b x b y b z c x c y c z ∣ V=\frac(1)(6)\cdot\begin(vmatrix) a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \end(vmatrix) )V =6 1 ​ ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ а х​ b х​ ° С х​ ​ а г​ b г​ ° С г​ ​ а z​ b z​ ° С z​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​

Задача 1

Координатите на четирите върха на октаедъра са известни. A (1, 4, 9) A (1,4,9) A (1, 4, 9), B(8, 7, 3) ​​B(8,7,3) B(8, 7, 3), C (1, 2, 3) ​​C (1,2,3) C (1, 2, 3), D(7, 12, 1) D(7,12,1) D (7 , 1 2 , 1 ). Намерете неговия обем.

Решение

A (1, 4, 9) A (1,4,9) A (1, 4, 9)
B(8, 7, 3) ​​B(8,7,3) B(8, 7, 3)
C (1, 2, 3) ​​C (1,2,3) C (1, 2, 3)
D(7, 12, 1) D(7,12,1) D (7 , 1 2 , 1 )

Първата стъпка е да се определят координатите на векторите, върху които е построено даденото тяло.
За да направите това, трябва да намерите всяка координата на вектора, като извадите съответните координати на две точки. Например векторни координати A B → \стрелка надясно(AB) А Б, тоест вектор, насочен от точка А А Акъм основния въпрос Б Б б, това са разликите на съответните координати на точките Б Б би А А А:

A B → = (8 − 1 , 7 − 4 , 3 − 9) = (7 , 3 , − 6) \стрелка надясно(AB)=(8-1, 7-4, 3-9)=(7, 3, -6)А Б= (8 − 1 , 7 − 4 , 3 − 9 ) = (7 , 3 , − 6 )

A C → = (1 − 1 , 2 − 4 , 3 − 9) = (0 , − 2 , − 6) \стрелка надясно(AC)=(1-1, 2-4, 3-9)=(0, - 2, -6)A C= (1 − 1 , 2 − 4 , 3 − 9 ) = (0 , − 2 , − 6 )
A D → = (7 − 1 , 12 − 4 , 1 − 9) = (6 , 8 , − 8) \стрелка надясно(AD)=(7-1, 12-4, 1-9)=(6, 8, -осем)A D= (7 − 1 , 1 2 − 4 , 1 − 9 ) = (6 , 8 , − 8 )

Сега нека намерим смесения продукт на тези вектори, за това съставяме детерминанта от трети ред, като приемаме, че A B → = a ⃗ \overrightarrow(AB)=\vec(a)А Б= а, A C → = b ⃗ \overrightarrow(AC)=\vec(b)A C= b, A D → = c ⃗ \overrightarrow(AD)=\vec(c)A D= ° С.

∣ a x a y a z b x b y b z c x c y c z ∣ = ∣ 7 3 − 6 0 − 2 − 6 6 8 − 8 (− 6) ⋅ (− 2) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6) ⋅ 8 − 3 ⋅ 0 ⋅ (− 8) = 112 − 108 − 0 − 72 + 336 + 0 = 268 \begin(vmatrix) a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \end(vmatrix)= \begin(vmatrix) 7 & 3 & -6 \\ 0 & -2 & -6 \\ 6 & 8 & -8 \\ \end(vmatrix)=7\cdot(-2)\cdot(-8) + 3\cdot(-6) \cdot6 + (-6)\cdot0\cdot8 - (-6)\cdot (-2)\cdot6 - 7\cdot(-6)\cdot8 - 3\cdot0\cdot(-8) = 112 - 108 - 0 - 72 + 336 + 0 = 268∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ а х​ b х​ ° Сх​ ​ аг​ bг​ ° Сг​ ​ аz​ bz​ ° Сz​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ 7 0 6 ​ 3 − 2 8 ​ − 6 − 6 − 8 ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = 7 ⋅ (− 2 ) ⋅ (− 8 ) + 3 ⋅ (− 6 ) ⋅ 6 + (− 6 ) ⋅ 0 ⋅ 8 − (− 6 ) ⋅ (− 2 ) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6 ) ⋅ 8 − 3 ⋅ 0 ⋅ (− 8 ) = 1 1 2 − 1 0 8 − 0 − 7 2 + 3 3 6 + 0 = 2 6 8

Тоест, обемът на тетраедър е:

$V=61\cdot |$

Отговор

$44.8\text{см3 .}$

Формулата за обема на равностен тетраедър по неговата страна

Тази формула е валидна само за изчисляване на обема на изоедърен тетраедър, т.е. тетраедър, в който всички лица са еднакви правилни триъгълници.

Обем на равностенен тетраедър

$V=12\sqrt{2\cdot {а}^3}$

а аае дължината на ръба на тетраедъра.

Задача 2

Намерете обема на тетраедър, ако страната му е дадена равна на $11\text{см.}$

Решение

$а=11$

Заместител а аавъв формулата за обема на тетраедър:

$V=12\sqrt{2\cdot {а}^{3=12\sqrt{2\cdot 11^{3\approx 156.8\text{см3}}}}}$

Отговор

$156.8\text{см3 .}$