साइन (), कोसाइन (), टेंगेंट (), कोटैंजेंट () की अवधारणाएं कोण की अवधारणा के साथ अटूट रूप से जुड़ी हुई हैं। पहली नज़र में, जटिल अवधारणाओं (जो कई स्कूली बच्चों में भय की स्थिति का कारण बनती हैं) की अच्छी समझ रखने के लिए, और यह सुनिश्चित करने के लिए कि "शैतान उतना भयानक नहीं है जितना उसे चित्रित किया गया है," आइए शुरुआत करें बहुत शुरुआत और कोण की अवधारणा को समझें।
कोण अवधारणा: रेडियन, डिग्री
आइए तस्वीर देखें. वेक्टर एक निश्चित मात्रा में बिंदु के सापेक्ष "मुड़" गया है। तो प्रारंभिक स्थिति के सापेक्ष इस घूर्णन की माप होगी कोना.
कोण की अवधारणा के बारे में आपको और क्या जानने की आवश्यकता है? खैर, बेशक, कोण इकाइयाँ!
ज्यामिति और त्रिकोणमिति दोनों में कोण को डिग्री और रेडियन में मापा जा सकता है।
कोण (एक डिग्री) वृत्त में केंद्रीय कोण है जो वृत्त के भाग के बराबर एक वृत्ताकार चाप द्वारा अंतरित होता है। इस प्रकार, पूरे वृत्त में वृत्ताकार चापों के "टुकड़े" होते हैं, या वृत्त द्वारा वर्णित कोण बराबर होता है।
अर्थात्, ऊपर दिया गया चित्र बराबर कोण दर्शाता है, अर्थात् यह कोण परिधि के आकार के एक वृत्ताकार चाप पर टिका है।
रेडियन में एक कोण एक वृत्त में केंद्रीय कोण होता है जो एक वृत्ताकार चाप द्वारा अंतरित होता है जिसकी लंबाई वृत्त की त्रिज्या के बराबर होती है। अच्छा, क्या आपने इसका पता लगा लिया? यदि नहीं, तो आइए इसे चित्र से समझें।
तो, चित्र एक रेडियन के बराबर कोण दिखाता है, अर्थात यह कोण एक वृत्ताकार चाप पर टिका होता है, जिसकी लंबाई वृत्त की त्रिज्या के बराबर होती है (लंबाई लंबाई के बराबर होती है या त्रिज्या बराबर होती है) चाप की लंबाई) इस प्रकार, चाप की लंबाई की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:
रेडियन में केन्द्रीय कोण कहाँ होता है?
खैर, यह जानकर, क्या आप उत्तर दे सकते हैं कि वृत्त द्वारा वर्णित कोण में कितने रेडियन समाहित हैं? हां, इसके लिए आपको परिधि का फॉर्मूला याद रखना होगा. ये रही वो:
खैर, अब आइए इन दोनों सूत्रों को सहसंबंधित करें और पता लगाएं कि वृत्त द्वारा वर्णित कोण बराबर है। अर्थात्, डिग्री और रेडियन में मान को सहसंबंधित करने पर, हमें वह प्राप्त होता है। क्रमश, । जैसा कि आप देख सकते हैं, "डिग्री" के विपरीत, "रेडियन" शब्द हटा दिया गया है, क्योंकि माप की इकाई आमतौर पर संदर्भ से स्पष्ट होती है।
कितने रेडियन हैं? यह सही है!
समझ गया? फिर आगे बढ़ें और इसे ठीक करें:
कठिनाइयाँ आ रही हैं? फिर देखो जवाब:
समकोण त्रिभुज: ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा, कोण की कोटैंजेंट
तो, हमने कोण की अवधारणा को समझ लिया। लेकिन किसी कोण की ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट क्या है? आइए इसका पता लगाएं। ऐसा करने में एक समकोण त्रिभुज हमारी सहायता करेगा।
समकोण त्रिभुज की भुजाएँ क्या कहलाती हैं? यह सही है, कर्ण और पैर: कर्ण वह भुजा है जो समकोण के विपरीत स्थित है (हमारे उदाहरण में यह भुजा है); पैर दो शेष भुजाएं हैं और (जो समकोण से सटे हुए हैं), और यदि हम कोण के सापेक्ष पैरों पर विचार करते हैं, तो पैर आसन्न पैर है, और पैर विपरीत है। तो, अब आइए इस प्रश्न का उत्तर दें: किसी कोण की ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट क्या हैं?
कोण की ज्या- यह विपरीत (दूर) पैर और कर्ण का अनुपात है।
हमारे त्रिकोण में.
कोण की कोज्या- यह आसन्न (करीबी) पैर और कर्ण का अनुपात है।
हमारे त्रिकोण में.
कोण की स्पर्श रेखा- यह विपरीत (दूर) पक्ष का आसन्न (निकट) पक्ष से अनुपात है।
हमारे त्रिकोण में.
कोण का कोटैंजेंट- यह आसन्न (करीबी) पैर से विपरीत (दूर) पैर का अनुपात है।
हमारे त्रिकोण में.
ये परिभाषाएँ आवश्यक हैं याद करना! यह याद रखना आसान बनाने के लिए कि किस पैर को किसमें विभाजित करना है, आपको इसे स्पष्ट रूप से समझने की आवश्यकता है स्पर्शरेखाऔर कोटैंजेंटकेवल पैर बैठते हैं, और कर्ण केवल अंदर दिखाई देता है साइनसऔर कोज्या. और फिर आप संघों की एक श्रृंखला के साथ आ सकते हैं। उदाहरण के लिए, यह वाला:
कोज्या→स्पर्श→स्पर्श→आसन्न;
कोटैंजेंट→स्पर्श→स्पर्श→आसन्न।
सबसे पहले, आपको यह याद रखना होगा कि किसी त्रिभुज की भुजाओं के अनुपात के रूप में साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट इन भुजाओं की लंबाई (एक ही कोण पर) पर निर्भर नहीं करते हैं। विश्वास नहीं करते? फिर चित्र देखकर सुनिश्चित करें:
उदाहरण के लिए, एक कोण की कोज्या पर विचार करें। परिभाषा के अनुसार, एक त्रिभुज से:, लेकिन हम एक त्रिभुज से एक कोण की कोज्या की गणना कर सकते हैं:। आप देखिए, भुजाओं की लंबाई अलग-अलग है, लेकिन एक कोण की कोज्या का मान समान है। इस प्रकार, साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट का मान पूरी तरह से कोण के परिमाण पर निर्भर करता है।
यदि आप परिभाषाएँ समझते हैं, तो आगे बढ़ें और उन्हें समेकित करें!
नीचे दिए गए चित्र में दिखाए गए त्रिभुज के लिए, हम पाते हैं।
अच्छा, क्या तुम्हें यह मिल गया? फिर इसे स्वयं आज़माएँ: कोण के लिए समान गणना करें।
इकाई (त्रिकोणमितीय) वृत्त
डिग्री और रेडियन की अवधारणाओं को समझते हुए, हमने बराबर त्रिज्या वाले एक वृत्त पर विचार किया। ऐसे वृत्त को कहते हैं अकेला. त्रिकोणमिति का अध्ययन करते समय यह बहुत उपयोगी होगा। इसलिए, आइए इसे थोड़ा और विस्तार से देखें।
जैसा कि आप देख सकते हैं, इस वृत्त का निर्माण कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में किया गया है। वृत्त की त्रिज्या एक के बराबर है, जबकि वृत्त का केंद्र निर्देशांक के मूल पर स्थित है, त्रिज्या वेक्टर की प्रारंभिक स्थिति अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ तय होती है (हमारे उदाहरण में, यह त्रिज्या है)।
वृत्त पर प्रत्येक बिंदु दो संख्याओं से मेल खाता है: अक्ष निर्देशांक और अक्ष निर्देशांक। ये निर्देशांक संख्याएँ क्या हैं? और सामान्य तौर पर, उनका मौजूदा विषय से क्या लेना-देना है? ऐसा करने के लिए, हमें सुविचारित समकोण त्रिभुज के बारे में याद रखना होगा। उपरोक्त चित्र में, आप दो पूर्ण समकोण त्रिभुज देख सकते हैं। एक त्रिभुज पर विचार करें. यह आयताकार है क्योंकि यह अक्ष के लंबवत है।
त्रिभुज किसके बराबर है? यह सही है। इसके अलावा, हम जानते हैं कि यह इकाई वृत्त की त्रिज्या है, जिसका अर्थ है। आइए इस मान को कोसाइन के हमारे सूत्र में प्रतिस्थापित करें। यहाँ क्या होता है:
त्रिभुज किसके बराबर है? बेशक, ! इस सूत्र में त्रिज्या मान रखें और प्राप्त करें:
तो, क्या आप बता सकते हैं कि वृत्त से संबंधित बिंदु के निर्देशांक क्या हैं? अच्छा, कोई रास्ता नहीं? क्या होगा यदि आपको इसका एहसास हो और आप केवल संख्याएँ हों? यह किस निर्देशांक से मेल खाता है? खैर, निःसंदेह, निर्देशांक! और यह किस समन्वय से मेल खाता है? यह सही है, निर्देशांक! इस प्रकार, अवधि.
तो फिर क्या हैं और किसके बराबर हैं? यह सही है, आइए स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की संबंधित परिभाषाओं का उपयोग करें और प्राप्त करें, ए।
यदि कोण बड़ा हो तो क्या होगा? उदाहरण के लिए, जैसे इस चित्र में:
इस उदाहरण में क्या बदलाव आया है? आइए इसका पता लगाएं। ऐसा करने के लिए, आइए फिर से एक समकोण त्रिभुज की ओर मुड़ें। एक समकोण त्रिभुज पर विचार करें: कोण (एक कोण के आसन्न के रूप में)। किसी कोण के लिए ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के मान क्या हैं? यह सही है, हम त्रिकोणमितीय फलनों की संगत परिभाषाओं का पालन करते हैं:
खैर, जैसा कि आप देख सकते हैं, कोण की ज्या का मान अभी भी निर्देशांक से मेल खाता है; कोण की कोज्या का मान - निर्देशांक; और संबंधित अनुपातों के स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के मान। इस प्रकार, ये संबंध त्रिज्या वेक्टर के किसी भी घूर्णन पर लागू होते हैं।
यह पहले ही उल्लेख किया जा चुका है कि त्रिज्या वेक्टर की प्रारंभिक स्थिति अक्ष की सकारात्मक दिशा के अनुदिश होती है। अब तक हमने इस वेक्टर को वामावर्त घुमाया है, लेकिन अगर हम इसे दक्षिणावर्त घुमाएं तो क्या होगा? कुछ भी असाधारण नहीं, आपको एक निश्चित मूल्य का कोण भी मिलेगा, लेकिन वह केवल नकारात्मक होगा। इस प्रकार, त्रिज्या वेक्टर को वामावर्त घुमाने पर, हमें मिलता है सकारात्मक कोण, और जब दक्षिणावर्त घुमाते हैं - नकारात्मक।
तो, हम जानते हैं कि एक वृत्त के चारों ओर त्रिज्या वेक्टर की एक संपूर्ण क्रांति है या। क्या त्रिज्या सदिश को इधर-उधर घुमाना संभव है? खैर, बेशक आप कर सकते हैं! इसलिए, पहले मामले में, त्रिज्या वेक्टर एक पूर्ण क्रांति करेगा और स्थिति पर रुक जाएगा।
दूसरे मामले में, अर्थात्, त्रिज्या वेक्टर तीन पूर्ण चक्कर लगाएगा और स्थिति पर रुक जाएगा।
इस प्रकार, उपरोक्त उदाहरणों से हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि जो कोण या (जहां कोई पूर्णांक है) से भिन्न होते हैं, वे त्रिज्या वेक्टर की समान स्थिति के अनुरूप होते हैं।
नीचे दिया गया चित्र एक कोण दिखाता है। वही छवि कोने आदि से मेल खाती है। यह सूची अनिश्चित काल तक जारी रखी जा सकती है। इन सभी कोणों को सामान्य सूत्र या (कोई पूर्णांक कहां है) द्वारा लिखा जा सकता है
अब, बुनियादी त्रिकोणमितीय कार्यों की परिभाषाओं को जानकर और इकाई वृत्त का उपयोग करके, उत्तर देने का प्रयास करें कि मान क्या हैं:
आपकी सहायता के लिए यहां एक यूनिट सर्कल है:
कठिनाइयाँ आ रही हैं? तो चलिए इसका पता लगाते हैं। तो हम जानते हैं कि:
यहां से, हम कुछ कोण मापों के अनुरूप बिंदुओं के निर्देशांक निर्धारित करते हैं। ठीक है, आइए क्रम से शुरू करें: कोण निर्देशांक वाले एक बिंदु से मेल खाता है, इसलिए:
मौजूद नहीं होना;
इसके अलावा, उसी तर्क का पालन करते हुए, हम पाते हैं कि कोने क्रमशः निर्देशांक वाले बिंदुओं के अनुरूप हैं। इसे जानने से संबंधित बिंदुओं पर त्रिकोणमितीय फलनों का मान निर्धारित करना आसान होता है। पहले इसे स्वयं आज़माएँ, और फिर उत्तरों की जाँच करें।
उत्तर:
इस प्रकार, हम निम्नलिखित तालिका बना सकते हैं:
इन सभी मूल्यों को याद रखने की कोई जरूरत नहीं है. यूनिट सर्कल पर बिंदुओं के निर्देशांक और त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों के बीच पत्राचार को याद रखना पर्याप्त है:
लेकिन कोणों के त्रिकोणमितीय कार्यों के मान नीचे दी गई तालिका में दिए गए हैं, याद रखना चाहिए:
डरिए मत, अब हम आपको एक उदाहरण दिखाएंगे संबंधित मूल्यों को याद रखना काफी सरल है:
इस विधि का उपयोग करने के लिए, कोण () के सभी तीन मापों के लिए साइन के मान, साथ ही कोण के स्पर्शरेखा के मान को याद रखना महत्वपूर्ण है। इन मानों को जानने के बाद, संपूर्ण तालिका को पुनर्स्थापित करना काफी सरल है - कोसाइन मान तीरों के अनुसार स्थानांतरित किए जाते हैं, अर्थात:
यह जानकर, आप मानों को पुनर्स्थापित कर सकते हैं। अंश " " मेल खाएगा और हर " " मेल खाएगा। कोटैंजेंट मान चित्र में दर्शाए गए तीरों के अनुसार स्थानांतरित किए जाते हैं। यदि आप इसे समझते हैं और तीरों के साथ आरेख को याद रखते हैं, तो यह तालिका से सभी मानों को याद रखने के लिए पर्याप्त होगा।
वृत्त पर एक बिंदु के निर्देशांक
क्या किसी वृत्त पर एक बिंदु (इसके निर्देशांक) खोजना संभव है? वृत्त के केंद्र के निर्देशांक, उसकी त्रिज्या और घूर्णन कोण को जानना?
खैर, बेशक आप कर सकते हैं! आइए इसे बाहर निकालें किसी बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करने का सामान्य सूत्र.
उदाहरण के लिए, यहाँ हमारे सामने एक वृत्त है:
हमें दिया गया है कि बिंदु वृत्त का केंद्र है। वृत्त की त्रिज्या बराबर है. किसी बिंदु को डिग्री द्वारा घुमाने पर प्राप्त बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करना आवश्यक है।
जैसा कि चित्र से देखा जा सकता है, बिंदु का निर्देशांक खंड की लंबाई से मेल खाता है। खंड की लंबाई वृत्त के केंद्र के निर्देशांक से मेल खाती है, अर्थात यह बराबर है। किसी खंड की लंबाई कोसाइन की परिभाषा का उपयोग करके व्यक्त की जा सकती है:
फिर हमारे पास बिंदु समन्वय के लिए वह है।
उसी तर्क का उपयोग करते हुए, हम बिंदु के लिए y निर्देशांक मान पाते हैं। इस प्रकार,
तो, सामान्य तौर पर, बिंदुओं के निर्देशांक सूत्रों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं:
वृत्त के केंद्र के निर्देशांक,
वृत्त त्रिज्या,
वेक्टर त्रिज्या का घूर्णन कोण.
जैसा कि आप देख सकते हैं, जिस इकाई वृत्त पर हम विचार कर रहे हैं, उसके लिए ये सूत्र काफी कम हो गए हैं, क्योंकि केंद्र के निर्देशांक शून्य के बराबर हैं और त्रिज्या एक के बराबर है:
खैर, आइए एक वृत्त पर बिंदु खोजने का अभ्यास करके इन सूत्रों को आज़माएँ?
1. बिंदु को घुमाने पर प्राप्त इकाई वृत्त पर एक बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
2. इकाई वृत्त पर बिंदु को घुमाने पर प्राप्त बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
3. इकाई वृत्त पर बिंदु को घुमाने पर प्राप्त बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
4. बिंदु वृत्त का केंद्र है. वृत्त की त्रिज्या बराबर है. प्रारंभिक त्रिज्या सदिश को घुमाकर प्राप्त बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करना आवश्यक है।
5. बिंदु वृत्त का केंद्र है. वृत्त की त्रिज्या बराबर है. प्रारंभिक त्रिज्या वेक्टर को घुमाकर प्राप्त बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करना आवश्यक है।
क्या आपको वृत्त पर किसी बिंदु के निर्देशांक ढूंढने में परेशानी हो रही है?
इन पांच उदाहरणों को हल करें (या उन्हें हल करने में कुशल हो जाएं) और आप उन्हें ढूंढना सीख जाएंगे!
सारांश और बुनियादी सूत्र
किसी कोण की ज्या विपरीत (दूर) पैर और कर्ण का अनुपात है।
किसी कोण की कोज्या आसन्न (निकट) पैर और कर्ण का अनुपात है।
किसी कोण की स्पर्शरेखा विपरीत (दूर) भुजा और आसन्न (नज़दीकी) भुजा का अनुपात है।
किसी कोण का कोटैंजेंट आसन्न (निकट) पक्ष और विपरीत (दूर) पक्ष का अनुपात होता है।
खैर, बात ख़त्म हो गई. अगर आप ये पंक्तियाँ पढ़ रहे हैं तो इसका मतलब है कि आप बहुत अच्छे हैं।
क्योंकि केवल 5% लोग ही अपने दम पर किसी चीज़ में महारत हासिल कर पाते हैं। और यदि आप अंत तक पढ़ते हैं, तो आप इस 5% में हैं!
अब सबसे महत्वपूर्ण बात.
आप इस विषय पर सिद्धांत को समझ चुके हैं। और, मैं दोहराता हूं, यह... यह बिल्कुल सुपर है! आप पहले से ही अपने अधिकांश साथियों से बेहतर हैं।
समस्या यह है कि यह पर्याप्त नहीं हो सकता...
किस लिए?
एकीकृत राज्य परीक्षा को सफलतापूर्वक उत्तीर्ण करने के लिए, कम बजट में कॉलेज में प्रवेश के लिए और, सबसे महत्वपूर्ण, जीवन भर के लिए।
मैं तुम्हें किसी बात के लिए मना नहीं पाऊंगा, मैं सिर्फ एक बात कहूंगा...
जिन लोगों ने अच्छी शिक्षा प्राप्त की है वे उन लोगों की तुलना में कहीं अधिक कमाते हैं जिन्होंने इसे प्राप्त नहीं किया है। ये आँकड़े हैं.
लेकिन ये मुख्य बात नहीं है.
मुख्य बात यह है कि वे अधिक खुश हैं (ऐसे अध्ययन हैं)। शायद इसलिए कि उनके सामने कई और अवसर खुलते हैं और जीवन उज्जवल हो जाता है? पता नहीं...
लेकिन आप खुद सोचिये...
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निष्कर्ष के तौर पर...
यदि आपको हमारे कार्य पसंद नहीं हैं, तो अन्य खोजें। बस सिद्धांत पर मत रुकें।
"समझ गया" और "मैं हल कर सकता हूँ" पूरी तरह से अलग कौशल हैं। आपको दोनों की जरूरत है.
समस्याएं ढूंढें और उनका समाधान करें!
एक बिंदु पर केन्द्रित ए.
α
- कोण रेडियन में व्यक्त किया गया।
परिभाषा
साइन (पाप α)एक त्रिकोणमितीय फलन है जो एक समकोण त्रिभुज के कर्ण और पैर के बीच के कोण α पर निर्भर करता है, जो विपरीत पैर की लंबाई के अनुपात के बराबर होता है |BC| कर्ण की लंबाई तक |AC|
कोसाइन (cos α)एक त्रिकोणमितीय फलन है जो एक समकोण त्रिभुज के कर्ण और पैर के बीच के कोण α पर निर्भर करता है, जो आसन्न पैर की लंबाई के अनुपात के बराबर है |AB| कर्ण की लंबाई तक |AC|
स्वीकृत नोटेशन
;
;
.
;
;
.
साइन फ़ंक्शन का ग्राफ़, y = पाप x
कोज्या फलन का ग्राफ़, y = cos x
साइन और कोसाइन के गुण
दौरा
फ़ंक्शंस y = पाप एक्सऔर y = क्योंकि xअवधि के साथ आवधिक 2π.
समानता
साइन फलन विषम है. कोज्या फलन सम है।
परिभाषा और मूल्यों का क्षेत्र, चरम, वृद्धि, कमी
साइन और कोसाइन फलन अपनी परिभाषा के क्षेत्र में निरंतर हैं, यानी सभी x के लिए (निरंतरता का प्रमाण देखें)। उनके मुख्य गुण तालिका (एन - पूर्णांक) में प्रस्तुत किए गए हैं।
| आप= पाप एक्स | आप= क्योंकि x | |
| दायरा और निरंतरता | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| मूल्यों की श्रृंखला | -1 ≤ य ≤ 1 | -1 ≤ य ≤ 1 |
| की बढ़ती | ||
| अवरोही | ||
| मैक्सिमा, y = 1 | ||
| मिनिमा, y = - 1 | ||
| शून्य, y = 0 | ||
| कोटि अक्ष के साथ बिंदुओं को अवरोधित करें, x = 0 | आप= 0 | आप= 1 |
मूल सूत्र
ज्या और कोज्या के वर्गों का योग
योग और अंतर से ज्या और कोज्या के सूत्र
;
;
ज्या और कोज्या के गुणनफल के लिए सूत्र
योग और अंतर सूत्र
साइन को कोसाइन के माध्यम से व्यक्त करना
;
;
;
.
कोज्या को ज्या के माध्यम से व्यक्त करना
;
;
;
.
स्पर्शरेखा के माध्यम से अभिव्यक्ति
; .
जब हम रखते है:
;
.
पर :
;
.
साइन और कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की तालिका
यह तालिका तर्क के कुछ मूल्यों के लिए साइन और कोसाइन के मान दिखाती है। 
जटिल चरों के माध्यम से अभिव्यक्तियाँ
;
यूलर का सूत्र
अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों के माध्यम से अभिव्यक्तियाँ
;
;
संजात
; . सूत्र व्युत्पन्न करना > > >
nवें क्रम के व्युत्पन्न:
{ -∞ <
x < +∞ }
सेकेंट, कोसेकेंट
उलटा कार्य
साइन और कोसाइन के व्युत्क्रम फलन क्रमशः आर्कसाइन और आर्ककोसाइन हैं।
आर्क्सिन, आर्क्सिन
आर्ककोसाइन, आर्ककोस
सन्दर्भ:
में। ब्रोंस्टीन, के.ए. सेमेन्डयेव, इंजीनियरों और कॉलेज के छात्रों के लिए गणित की पुस्तिका, "लैन", 2009।
0, 30, 45, 60, 90, ... डिग्री के कोणों के लिए बुनियादी त्रिकोणमितीय कार्यों की तालिका
फ़ंक्शन $\sin$, $\cos$, $\tan$ और $\cot$ की त्रिकोणमितीय परिभाषाओं से, आप कोणों $0$ और $90$ डिग्री के लिए उनके मान ज्ञात कर सकते हैं:
$\sin0°=0$, $\cos0°=1$, $\tan 0°=0$, $\cot 0°$ परिभाषित नहीं;
$\sin90°=1$, $\cos90°=0$, $\cot90°=0$, $\tan 90°$ निर्धारित नहीं है।
एक स्कूल ज्यामिति पाठ्यक्रम में, समकोण त्रिभुजों का अध्ययन करते समय, व्यक्ति $0°$, $30°$, $45°$, $60°$ और $90°$ कोणों के त्रिकोणमितीय फलन पाता है।
क्रमशः डिग्री और रेडियन में संकेतित कोणों के लिए त्रिकोणमितीय कार्यों के मान ($0$, $\frac(\pi)(6)$, $\frac(\pi)(4)$, $\frac(\ pi)(3) $, $\frac(\pi)(2)$) को याद रखने और उपयोग में आसानी के लिए एक तालिका में दर्ज किया जाता है जिसे कहा जाता है त्रिकोणमितीय तालिका, त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल मूल्यों की तालिकाऔर इसी तरह।
कटौती सूत्रों का उपयोग करते समय, त्रिकोणमिति तालिका को $360°$ के कोण तक विस्तारित किया जा सकता है और, तदनुसार, $2\pi$ रेडियन तक:
त्रिकोणमितीय कार्यों की आवधिकता गुणों का उपयोग करके, प्रत्येक कोण, जो पहले से ज्ञात कोण से $360°$ भिन्न होगा, की गणना की जा सकती है और एक तालिका में दर्ज किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, कोण $0°$ के लिए त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन का मान $0°+360°$, कोण $0°+2 \cdot 360°$ और कोण $0°+3 \cdot 360°$ के लिए समान होगा। और आदि।
त्रिकोणमितीय तालिका का उपयोग करके, आप एक इकाई वृत्त के सभी कोणों का मान निर्धारित कर सकते हैं।
स्कूल ज्यामिति पाठ्यक्रम में, आपको त्रिकोणमितीय समस्याओं को हल करने की सुविधा के लिए त्रिकोणमितीय तालिका में एकत्रित त्रिकोणमितीय कार्यों के बुनियादी मूल्यों को याद रखना होता है।
एक तालिका का उपयोग करना
तालिका में, यह आवश्यक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन और कोण या रेडियन का मान खोजने के लिए पर्याप्त है जिसके लिए इस फ़ंक्शन की गणना करने की आवश्यकता है। फ़ंक्शन के साथ पंक्ति और मान वाले कॉलम के प्रतिच्छेदन पर, हम दिए गए तर्क के त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन का वांछित मान प्राप्त करते हैं।
चित्र में आप देख सकते हैं कि $\cos60°$ का मूल्य कैसे ज्ञात किया जाए, जो $\frac(1)(2)$ के बराबर है।
विस्तारित त्रिकोणमिति तालिका का उपयोग उसी प्रकार किया जाता है। इसका उपयोग करने का लाभ, जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, लगभग किसी भी कोण के त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन की गणना है। उदाहरण के लिए, आप आसानी से मूल्य पा सकते हैं $\tan 1 380°=\tan (1 380°-360°)=\tan(1 020°-360°)=\tan(660°-360°)=\tan300 °$:
बुनियादी त्रिकोणमितीय कार्यों की ब्रैडिस तालिकाएँ
डिग्री के पूर्णांक मान और मिनटों के पूर्णांक मान के लिए बिल्कुल किसी भी कोण मान के त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन की गणना करने की क्षमता ब्रैडिस तालिकाओं के उपयोग द्वारा प्रदान की जाती है। उदाहरण के लिए, $\cos34°7"$ का मान ज्ञात करें। तालिकाओं को 2 भागों में विभाजित किया गया है: $\sin$ और $\cos$ के मानों की एक तालिका और $ के मानों की एक तालिका \tan$ और $\cot$।
ब्रैडिस तालिकाएँ 4 दशमलव स्थानों तक की सटीकता के साथ त्रिकोणमितीय कार्यों के अनुमानित मान प्राप्त करना संभव बनाती हैं।
ब्रैडिस तालिकाओं का उपयोग करना
साइन के लिए ब्रैडिस तालिकाओं का उपयोग करके, हम $\sin17°42"$ पाते हैं। ऐसा करने के लिए, साइन और कोसाइन की तालिका के बाएं कॉलम में हम डिग्री का मान पाते हैं - $17°$, और शीर्ष पंक्ति में हम मिनटों का मान ज्ञात करते हैं - $42"$। उनके प्रतिच्छेदन पर हमें वांछित मान प्राप्त होता है:
$\sin17°42"=0.304$.
$\sin17°44"$ का मान ज्ञात करने के लिए आपको तालिका के दाईं ओर सुधार का उपयोग करना होगा। इस मामले में, तालिका में मौजूद मूल्य $42"$ में, आपको $2 के लिए एक सुधार जोड़ना होगा "$, जो $0.0006$ के बराबर है। हमें मिलता है:
$\sin17°44"=0.304+0.0006=0.3046$.
मूल्य $\sin17°47"$ ज्ञात करने के लिए हम तालिका के दाईं ओर सुधार का भी उपयोग करते हैं, केवल इस मामले में हम मूल्य $\sin17°48"$ को आधार के रूप में लेते हैं और $1"$ के लिए सुधार घटाते हैं। :
$\sin17°47"=0.3057-0.0003=0.3054$.
कोसाइन की गणना करते समय, हम समान क्रियाएं करते हैं, लेकिन हम दाएं कॉलम में डिग्री और तालिका के निचले कॉलम में मिनटों को देखते हैं। उदाहरण के लिए, $\cos20°=0.9397$.
$90°$ तक स्पर्शरेखा मानों और छोटे कोण कोटैंजेंट के लिए कोई सुधार नहीं है। उदाहरण के लिए, आइए $\tan 78°37"$ खोजें, जो तालिका के अनुसार $4.967$ के बराबर है।
त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों की तालिका
टिप्पणी. त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन मानों की यह तालिका वर्गमूल को दर्शाने के लिए √ चिह्न का उपयोग करती है। भिन्न को इंगित करने के लिए, प्रतीक "/" का उपयोग करें।
यह सभी देखेंउपयोगी सामग्री:
के लिए त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन का मान निर्धारित करना, इसे त्रिकोणमितीय फलन को दर्शाने वाली रेखा के प्रतिच्छेदन पर खोजें। उदाहरण के लिए, साइन 30 डिग्री - हम शीर्षक साइन (साइन) के साथ कॉलम की तलाश करते हैं और पंक्ति "30 डिग्री" के साथ इस तालिका कॉलम के चौराहे को ढूंढते हैं, उनके चौराहे पर हम परिणाम पढ़ते हैं - एक आधा। इसी प्रकार हम पाते हैं कोज्या 60डिग्री, साइन 60डिग्री (एक बार फिर, पाप स्तंभ और 60 डिग्री रेखा के प्रतिच्छेदन पर हम मान पाप 60 = √3/2 पाते हैं), आदि। अन्य "लोकप्रिय" कोणों की ज्या, कोज्या और स्पर्शरेखा का मान उसी तरह पाया जाता है।
साइन पाई, कोसाइन पाई, स्पर्शज्या पाई और रेडियन में अन्य कोण
कोज्या, ज्या और स्पर्शरेखा की नीचे दी गई तालिका त्रिकोणमितीय फलनों का मान ज्ञात करने के लिए भी उपयुक्त है जिसका तर्क है रेडियन में दिया गया है. ऐसा करने के लिए, कोण मानों के दूसरे कॉलम का उपयोग करें। इसके लिए धन्यवाद, आप लोकप्रिय कोणों के मान को डिग्री से रेडियन में बदल सकते हैं। उदाहरण के लिए, आइए पहली पंक्ति में 60 डिग्री का कोण ज्ञात करें और उसके नीचे रेडियन में इसका मान पढ़ें। 60 डिग्री π/3 रेडियन के बराबर है।
संख्या पाई स्पष्ट रूप से कोण की डिग्री माप पर परिधि की निर्भरता को व्यक्त करती है। इस प्रकार, पाई रेडियन 180 डिग्री के बराबर हैं।
पाई (रेडियन) के रूप में व्यक्त किसी भी संख्या को पाई (π) को 180 से प्रतिस्थापित करके आसानी से डिग्री में परिवर्तित किया जा सकता है।.
उदाहरण:
1. साइन पाई.
पाप π = पाप 180 = 0
इस प्रकार, पाई की ज्या 180 डिग्री की ज्या के समान है और यह शून्य के बराबर है।
2. कोसाइन पाई.
कॉस π = कॉस 180 = -1
इस प्रकार, पाई की कोज्या 180 डिग्री की कोज्या के समान है और यह शून्य से एक के बराबर है।
3. स्पर्शरेखा पाई
टीजी π = टीजी 180 = 0
इस प्रकार, स्पर्शरेखा पाई 180 डिग्री की स्पर्शरेखा के समान है और यह शून्य के बराबर है।
0 - 360 डिग्री के कोणों के लिए ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा मानों की तालिका (सामान्य मान)
|
कोण α मान (डिग्री) |
कोण α मान (पीआई के माध्यम से) |
पाप (साइनस) |
ओल (कोसाइन) |
टीजी (स्पर्शरेखा) |
सीटीजी (कोटैंजेंट) |
सेकंड (सेकेंट) |
कोसेक (कोसेकेंट) |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | - | 1 | - |
| 15 | π/12 | 2 - √3 | 2 + √3 | ||||
| 30 | π/6 | 1/2 | √3/2 | 1/√3 | √3 | 2/√3 | 2 |
| 45 | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 | 1 | √2 | √2 |
| 60 | π/3 | √3/2 | 1/2 | √3 | 1/√3 | 2 | 2/√3 |
| 75 | 5π/12 | 2 + √3 | 2 - √3 | ||||
| 90 | π/2 | 1 | 0 | - | 0 | - | 1 |
| 105 | 7π/12 |
- |
- 2 - √3 | √3 - 2 | |||
| 120 | 2π/3 | √3/2 | -1/2 | -√3 | -√3/3 | ||
| 135 | 3π/4 | √2/2 | -√2/2 | -1 | -1 | -√2 | √2 |
| 150 | 5π/6 | 1/2 | -√3/2 | -√3/3 | -√3 | ||
| 180 | π | 0 | -1 | 0 | - | -1 | - |
| 210 | 7π/6 | -1/2 | -√3/2 | √3/3 | √3 | ||
| 240 | 4π/3 | -√3/2 | -1/2 | √3 | √3/3 | ||
| 270 | 3π/2 | -1 | 0 | - | 0 | - | -1 |
| 360 | 2π | 0 | 1 | 0 | - | 1 | - |
यदि त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों की तालिका में फ़ंक्शन मान (स्पर्शरेखा (टीजी) 90 डिग्री, कोटैंजेंट (सीटीजी) 180 डिग्री) के बजाय एक डैश इंगित किया गया है, तो कोण की डिग्री माप के दिए गए मान के लिए फ़ंक्शन कोई विशिष्ट मूल्य नहीं है. यदि कोई डैश नहीं है, तो सेल खाली है, जिसका अर्थ है कि हमने अभी तक आवश्यक मान दर्ज नहीं किया है। हम इस बात में रुचि रखते हैं कि उपयोगकर्ता हमारे पास किन प्रश्नों के लिए आते हैं और तालिका को नए मूल्यों के साथ पूरक करते हैं, इस तथ्य के बावजूद कि सबसे सामान्य कोण मूल्यों के कोसाइन, साइन और स्पर्शरेखा के मूल्यों पर वर्तमान डेटा अधिकांश को हल करने के लिए काफी पर्याप्त है। समस्या।
सबसे लोकप्रिय कोणों के लिए त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन पाप, कॉस, टीजी के मूल्यों की तालिका
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 डिग्री
(संख्यात्मक मान "ब्रैडिस तालिकाओं के अनुसार")
| कोण α मान (डिग्री) | रेडियन में कोण α मान | पाप (साइन) | कॉस (कोसाइन) | टीजी (स्पर्शरेखा) | सीटीजी (कोटेंजेंट) |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | ||||
| 15 |
0,2588 |
0,9659
|
0,2679 |
||
| 30 |
0,5000 |
0,5774 |
|||
| 45 |
0,7071 |
||||
|
0,7660 |
|||||
| 60 |
0,8660 |
0,5000
|
1,7321 |
||
|
7π/18 |